アットランダム≒ブリコラージュ

13098：有名な？内接四角形...対角線の長さは？...

問題13098・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/65997845.html より 引用 Orz〜

円に内接する四角形ＡＢＣＤがあり、
ＡＢ＝３cm、ＢＣ＝５cm、ＣＤ＝７cm、ＤＡ＝７cm です。　
このとき、ＡＣの長さは何cm？
　
(高校数学・有名問題)

解答

・わたしの…

余弦定理から...

AC^2=7^2+7^2-2*7*7*cosθ=3^2+5^2+2*3*5*cosθ

2*49-34=(2*49+30)*cosθ

64/128=1/2=cosθ・・・△ACDは正三角形だったのね ^^

so…

AC=7 cm

ちなみに…

BD*AC=3*7+5*7=56

so…

BD=56/7=8 cm なのねぇ ☆

・鍵コメY様からの麗しい解法 Orz〜☆

弧BCD上に BE＝7cm，ED＝5cm になるように E をとれば、
四角形ABEDは等脚台形だから、トレミーの定理で BD＝8cm、
もう一度トレミーの定理で AC＝7cm とすれば三角比は不要です。

*お気に入りい〜 ^^♪

等脚台形〜トレミーってのが身に付いてないわ ^^;…

・鍵コメT様からのもの Orz〜

AC,BDの交点をPとして，AP:BP:CP:DP=21:15:35:49だから，AC:BD=56:64=7:8.
トレミーの定理より，AC・BD=21+35=56.
よって，AC=7,BD=8. 

*なるほどぉ〜☆

これまた素敵ですね ^^♪

・鍵コメT様からの補足コメ Orz〜

△PAD∽△PBCからPA:PB=AD:BC=7:5.
△PAB∽△PDCからPB:PC=AB:DC=3:7.
△PBC∽△PADからPC:PD=BC:AD=5:7.
以上より，PA:PB:PC:PD=(7*3):(3*5):(5*7):(7*7)が得られます．

*連比で言えるのですね ☆

これはいろいろ使えそうですね♪

13097：0〜9999までで、3,6は少なくともどこかの位にあり、9はどこの位にもない個数は？...

問題13097・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/65997987.html より 引用 Orz〜

0 から 9999 の整数のうち、数字３と６が、少なくとも１つどこかの位にあり、
数字９が、どこの位にも入っていないような整数は何個あるかな？

解答

・わたしの…

0000〜9999 で考える…

9を除いたものは…

9^4個

3,6がどちらもない場合…7^4個

so…

9^4-7^4

=(9^2+7^2)(9^2-7^2)

=(81+49)(81-49)

=130*32

=4160 個

ね ^^

↑

計算も文章の読解力もいい加減でした…^^; 

赤字で訂正 Orz…

(鍵コメT様ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜v)

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「数字3と6が，少なくとも1つどこかの位にある」は，
a:「数字3か6が，少なくとも1つ…」，b:「数字3も6も，少なくとも1つずつ…」
のどちらの意味かがあいまいだと思います．

aの解釈ならば，9^4-7^4で正しいです．

bの解釈ならば，9^4-(8^4+8^4-7^4)=770 となりますね．

*「3&6」だから...後者(b)の意味の方だったと思い直しています ^^;v

13096：楽しい小数…クイズ ^^

問題13096・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/65999188.html より 引用 Orz〜

ある小数Ａがあります。
Ａの小数点を１けた右にずらした数をＢ、
Ａの小数点を１けた左にずらした数をＣ
とします。
Ａ，Ｂ，Ｃ３つの和が1345.32 であるとき、Ａは？　
　　　　
(2011年．芝中)

解答

・わたしの…

  1ab.2

1ab2

   1a.b2

-----------

1345.32

so…

b=1

a=2

so…

121.2=A　ね ^^

・鍵コメY様からのスマートな解法 Orz〜

1345.32÷11.1 で求められます。

* B=0.1*A, C=10*A

so…

A+B+C=11.1*A

なのでしたのね ^^☆

13095：0,1,2,6,7,8で0から小さい順に数を作るとき、1278までに9の倍数の個数は？

問題13095・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66001760.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

0

9=18,27,108,180,207,270,1008,1080

18=288,828,882,666,1278

27は999の1個の9をばらしても…18なので、1278を越えてしまいない…

so…以上なので…14個　かな ^^

*地道に数える以外ないと思うけど…?

↑

全然抜けてましたわ…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのエレガントな解法 Orz〜☆

72とか117とか，かなり大量に数え漏れがあります．

もっと先の方まで考える際に拡張性のある方法を提示します．
(本問では，素朴に数える方が楽かもしれませんが．．．)

9で割った余りが0,1,2,3,4,5,6,7,8であるものの個数を順に並べて
表現することにします．例えば，数字を1つだけ用いるものについては，
(1,1,1,0,0,0,1,1,1)となります．これをAとしましょう．

数字を2つ用いるとき，
「1?」なら(1,1,1,1,0,0,0,1,1)，「2?」なら(1,1,1,1,1,0,0,0,1)，
「6?」なら(0,0,0,1,1,1,1,1,1)，「7?」なら(1,0,0,0,1,1,1,1,1)，
「8?」なら(1,1,0,0,0,1,1,1,1)であり，「0?」も含めると，
(5,4,3,3,3,3,4,5,6)となります．(Bとします．)
これは，Aを元に，場所ごとに，2個前〜3個後の和
(ただし，先頭と末尾はつながっているとみなす)をとったことになります．

数字3つならば，Bを元に，場所ごとに同様の和をとればよく，
(26,24,21,20,21,24,26,27,27)となります．(Cとします．)

1000未満のものは，Cの先頭の数を見て26個．
10??については，Bの末尾を見て6個．
11??については，Bの後ろから2番目を見て5個．
12??は，1206,1260,1278の3個あります．
(「Bの後ろから3番目の4から1287の分を除く」と考えてもよいです．)

結局，全部で26+6+5+3=40(個)ですね．

*なるほどの素敵な発想ね☆

無謀にも再度数えてみたら…^^;

18,27,117,126,288,666,1188,1116,1278 と0で…
0=1個
18,81,27,72=4個
108,180,810,801,207,270,720,702=8個,666=1個
3!=6個, 2*3!/2!=6個・・・26個 
1008,1080=2個,1170,1107,1071,1017=4個,
1026,1062,1206,1260=4個,1116,1161,1188,1278=4個・・・14個

と、たしかに…40個あったけど…

これでは数え抜けてないか一抹の不安は拭いきれないですわね…^^;;...

13094：場合の数...カードの並び…(5が出るか、4枚のカードを並べたら終了)

問題13094・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66002541.html より 引用 Orz〜

箱の中に６枚のカード、１，２，３，４，５，６ があります。
箱の中からカードを１枚ずつ引いていき、取り出したカードを左から順に並べていく作業をおこないます。５が出るかまたは４枚のカードを並べたところでこの作業を終えるとき、次の問いに答えなさい。

(1) このようなカードの並べ方は、全部で何通りありますか。

(2) このようなカードの並べ方のうち、１を含む並べ方は全部で何通りありますか。

(3) 3枚目のカードを並べて作業が終了した場合について考えます。

並べたカードを左から順に、百の位、十の位、一の位として3桁の数として見たとき、考えられる数すべての和を求めなさい。
　　
(2011年．聖光学院中)

解答

・わたしの…

(1)

1+5+5*4+5*4*3+5*4*3*2*2=1+5+20+60+240=326通り

(2)

2枚目で終わるとき…1

3…2*4=8

4…3*4*3=36

5…36+5*4*3*2=156

so…

1+8+36+156=201通り

(3)

**5

so…

(1+2+3+4+6)*4*110+5*4*5=7140

ですね ^^

↑

4枚目で終わるのでしたぁ…^^;; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

解答では，(1),(2)とも「4枚のカードを並べたところで終了」を
忘れてしまっているように見えます．・・・どうも5が頭にこびりついてた模様です…^^;;

また，問題文ですが，「5」が出たとき，
「作業を即座に終了」「5を並べてから作業を終了」の2通りの解釈が
可能であるような気がしますが，
「5を並べてから作業を終了」が普通でしょうから，その解釈で進めます．

(1) 以下，「?」は「5以外」，「*」は「何でもよい」を表すとして，
「5」，「?5」，「??5」，「???*」があり得て，
1+5*1+5*4*1+5*4*3*3=206(通り).
(2) (1)の分類で，1を含まないのは1+4*1+4*3*1+4*3*2*2=65(通り)だから，
206-65=141(通り). 

*たしかに…(2)はこの方がスマートでしたわね ^^;☆