問題13171(友人問)
f(x)=ax^3+bx^2+c とし、
「すべての整数nに対してf(n)の値が整数になる」とする。
-5<=a<=5、-5<=b<=5、-5<=c<=5
の範囲に適する(a,b,c)の組は全部で何組あるか。
解答
・わたしの…
f(0)=c・・・整数
n,mを互いに素な整数とする…
f(n)=a*n^3+b*n^2+c
f(m)=a*m^3+b*m^2+c
f(n)-f(m)
=a(n^3-m^3)+b(n^2-m^2)
=(n-m)(a(n^2+nm+m^2)+b(n+m))=整数
n^2+nm+m^2=(n+m)^2-nm
と
n+m
とは互いに素…
これらの組み合わせは無限にあるので…
a,bは整数
so…
11^3=1331通り のはずね ^^
↑
なんと…まだいっぱいあるのでした ^^; Orz…
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
例えば(1/2)n^3+(1/2)n^2はすべての整数nに対して整数です．
so…
±1/2,3/2,5/2,7/2,9/2
so…10^2*10=1000個
けっきょく…1331+1000=2331個
でしたのね ^^;…☆
↑
ミスってるし…導出手順もありませんでした…^^; Orz…
↓
・鍵コメT様からの正統な解法ぉ〜☆
「ax^3+bx^2+c」だと，cは整数に限り，あまり意味を持ちません．
(a,bの可能な組に対し，つねに11通りのcが可能です．)
問題としては，「ax^3+bx^2+cx」の方が内容豊富なので，
もともと「f(x)=ax^3+bx^2+cx」ではじまっている問題だったのかもしれません．
が，とりあえず，ax^3+bx^2+cのままで解きます．
f(x+1)-f(x)=a(3x^2+3x+1)+b(2x+1)=3ax^2+(3a+2b)x+(a+b)であり，
これをg(x)として，g(x+1)-g(x)=3a(2x+1)+(3a+2b)=6ax+(6a+2b).
xが整数であれば，f(x),f(x+1),f(x+2)はすべて整数であり，
したがって，g(x),g(x+1)はともに整数，よって6ax+(6a+2b)は整数のはずです．
これより，aは1/6の整数倍，bは1/2の整数倍となります．
さらに，f(0),g(0)がともに整数だから，c，a+bはともに整数となり，
以上が必要十分条件です．
[g(0)が整数で，g(x+1)-g(x)がすべての整数xに対して整数ならば，
整数xに対してg(x)はつねに整数．
f(0)が整数で，f(x+1)-f(x)=g(x)がすべての整数xに対して整数，
整数xに対してf(x)はつねに整数．]
結局，条件は，
「cは整数，bは1/2の整数倍，
bが整数のときはaも整数で，bが(奇数)/2の形のときはaも(奇数)/2」
であり，
a,bの組は，11*11+10*10=221(組)あり，それぞれについてcが11通りずつあるから，
結論は，221*11=2431(組)です．
(ax^3+bx^2+cxならば，例えば(1/6)x^3+(1/2)x^2+(1/3)xなどもあって，
その方が面白いのですが，解き方としてはまったく同じです．)
*面白い問題でしたのね ^^;v
ax^3+bx^2+cx=x(ax^2+bx+c)
f(x)=ax^2+bx+c
f(n+1)-f(n)=a((n+1)^2-n^2)+b=2n*a+a+b
f(1)=a+b+c
f(-1)=-a+b-c
n=3m,3m±1 で場合分けして行くんですね ^^; …may bee...
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