アットランダム≒ブリコラージュ

13464：面積比...△分割…パズル ^^

問題13464・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66252455.html より 引用 Orz〜

図のような三角形ＡＢＣを７つの三角形ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キに分けました。

ただし、３つの点Ｅ、Ｇ、Ｉは辺ＡＣの長さを４等分した点で、

４つの三角形ア、ウ、オ、キの面積はすべて等しいです。

三角形エの面積は、三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか？

(2017年．渋谷幕張中１次４番（１）改題)

解答

・わたしの…

*アップしようとしたら呼び出されて…^^;

今日はもう…早々に寝ようかなっと…OrZzzz...

13463：□+378÷□が整数になる□に入る同じ『数字』は何通り？…パズル ^^

問題13463・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66251455.html より 引用 Orz〜

■＋378 ÷ ■
　
上の式で両方の■の中に同じ数字を入れて、答えが整数になるようにします。
異なる答えは全部で何通りありますか。

(1997年．神戸女学院中４番（１）改題)

解答

・わたしの…

378=2*3^3*7

2*4*2=16通り　ね ^^

13462：直角三角形の頂点に同半径の円を描くとき、すべての円が重なる面積...

問題13462・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66251298.html より 引用 Orz〜

図の直角二等辺三角形の３つの頂点を中心とし、半径２cmの円をかく。
この３つの円すべてに共通する部分の面積は、小数第３位以下を四捨五入すると■平方cmとなる。ただし、１辺の長さが２cmの正三角形の面積は1.73平方cm、円周率は3.14とする。

(1997年．灘中)

解答

・わたしの…

so…5.32/3=1.773…=1.77 cm^2 ってことですね ^^

13461：a(47)=？...漸化式から一般項...

画像：http://grapee.jp/183200 より 引用 Orz〜

「花びらがガラス細工のように透明になる「サンカヨウ（山荷葉）」という花をご存知でしょうか。」

*知らなかったけど...お会いしたいものですばい🌸

問題13461・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37808448.html#37808448 より Orz〜

　a₁＝0 ，a₂＝2 ，a₃＝4 ，a_n+3＝a_n+2＋a_n+1−a_n＋2 で表される数列｛ a_n ｝について、

　第47項 a₄₇＝？　また、一般項 a_n＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37821025.html より Orz〜

[解答1]

Σは k＝1，2，……，n−1 を表すものとします。

後で使いますが、Σ(−1)^k＝−｛1−(−1)^n-1｝/(1＋1)＝−1/2−(−1)ⁿ/2 です。

a_n+3−2a_n+2＋a_n+1＝−a_n+2＋2a_n+1−a_n＋2 、

a_n+3−2a_n+2＋a_n+1−1＝−(a_n+2−2a_n+1＋a_n−1) より、

数列｛ a_n+2−2a_n+1＋a_n−1 ｝は 公比 −1 の等比数列になり、

a_n+2−2a_n+1＋a_n−1＝(a₃−2a₂＋a₁−1)(−1)^n-1＝(−1)ⁿ 、

(a_n+2−a_n+1)−(a_n+1−a_n)＝1＋(−1)ⁿ 、

数列｛ a_n+1−a_n ｝の 階差数列が｛ 1＋(−1)ⁿ ｝になり、

n≧2 のとき、

a_n+1−a_n＝a₂−a₁＋Σ｛ 1＋(−1)^k ｝＝2＋(n−1)−1/2−(−1)ⁿ/2＝n＋1/2−(−1)ⁿ/2 、

この式は n＝1 のときも成り立ち、

更に、数列｛ a_n ｝の 階差数列が｛ n＋1/2−(−1)ⁿ/2 ｝になり、

n≧2 のとき、

a_n＝a₁＋Σ｛ k＋1/2−(−1)^k/2 ｝＝0＋(n−1)n/2＋(n−1)/2＋1/4＋(−1)ⁿ/4＝n²/2−1/4＋(−1)ⁿ/4 、

この式は n＝1 のときも成り立ち、

a_n＝[n²/2] とまとめられます。

a₄₇＝[47²/2]＝[2209/2]＝1104 です。


[解答2]

Σは k＝1，2，……，n−1 を表すものとします。

a_n+3−a_n+1＝a_n+2−a_n＋2 より、数列｛ a_n+2−a_n ｝は 公差 2 の等差数列になり、 

a_n+2−a_n＝a₃−a₁＋2(n−1)＝4＋2(n−1)＝2n＋2 です。

a_n+2−a_n＝2n＋2 において、n を 2n−1 に書きかえれば、

a_2n+1−a_2n-1＝2(2n−1)＋2＝4n 、

数列｛ a_2n-1 ｝の 階差数列が｛ 4n ｝になり、

n≧2 のとき、

a_2n-1＝a₁＋Σ4k＝0＋4･(n−1)n/2＝2(n−1)n＝｛(2n−1)²−1｝/2 、

この式は n＝1 のときも成り立ちます。

a_n+2−a_n＝2n＋2 において、n を 2n に書きかえれば、

a_2n+2−a_2n＝2･2n＋2＝4n＋2 、

数列｛ a_2n ｝の 階差数列が｛ 4n＋2 ｝になり、

n≧2 のとき、

a_2n＝a₂＋Σ(4k＋2)＝2＋4･(n−1)n/2＋2(n−1)＝2n²＝(2n)²/2 、

この式は n＝1 のときも成り立ちます。

a_2n-1＝｛(2n−1)²−1｝/2＝[(2n−1)²/2] ，a_2n＝(2n)²/2 のいずれも成り立ち、

a_n＝[n²/2] とまとめられます。

a₄₇＝[47²/2]＝[2209/2]＝1104 です。

*これはひたすら地道に ^^;

a(4)-a(3)=a(2)-a(1)+2=4
a(5)-a(4)=a(3)-a(2)+2=4
a(6)-a(5)=a(4)-a(3)+2=6
a(7)-a(6)=a(5)-a(4)+2=6
…
a(46)-a(45)=a(44)-a(43)+2=46
a(47)-a(46)=a(45)-a(44)+2=46

so…
a(47)-a(3)=a(47)-4=4*(2+…+23)
a(47)=4*(1+2+…+23)=2*23*24=1104 ♪

nが奇数：(n^2-1)/2
nが偶数：((n+1)^2-1)/2-n=n^2/2

*ガウス記号を使うと一つの式で表せることなんて考えたこともなかったなぁ…^^☆

13460：各位の数字がそれより下の桁の数字の和よりも大きい4桁の数の個数...

問題13460・・・http://blog.livedoor.jp/uyama_yuichi/archives/66250323.html より 引用 Orz〜

632 や 9521 などの数は、各位の数がそれより下の位の数の和より大きくなっています。

(1)
このような４桁の数は全部で何個ありますか。

(1997年．麻布中５番省略改題)

解答

・わたしの…

0<1<2<4,5,6,7,8,9・・・6個

0<1<3<5,6,7,8,9・・・5

0<1<4<6,7,8,9・・・4

0<1<5<7,8,9・・・3

0<1<6<8,9・・・2

0<1<7<9・・・1

計=21個

0<2<3<6,7,8,9・・・4

0<2<4<7,8,9・・・3

0<2<5<8,9・・・2

0<2<6<9・・・1

計=10個

0<3<4<8,9・・・2

0<3<5<9・・・1

計=3個

0<4<5<10…x

1<2<4<8,9・・・2

1<2<5<9・・・1

1<3<5<10…x

計=3個

2<3<6<12…x

so…

21+10+3+3=37個

もっと簡単に求められますかいねぇ ^^;…?

もし、下位よりも上位が大きい数なら…

10C4=210個と簡単なのに…^^