アットランダム≒ブリコラージュ

13517：小数部抽出関数の図の説明求む…^^;

問題13517・・・完全無欠で荒唐無稽な夢 http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64/20170618#c より 引用 Orz〜

小数部だけを取り出す関数をfractionalPart(x)としよう。

この点はどんな軌跡を描くか、想像できる人は凄いヒトだ。

上の式をｘが０→２πまで動かすとどうなるかなんだ。

結果を示すけれど、どうして曲線が分断されて出現するのか、イマイチ理解できてないんだ。

*わたしもよくわかりませんですばい…^^;

わかる方どなたか教えてたもれ Orz〜

解答

・わたしの…

面白いですね♪

最初の√(1+cos(θ))は…

cos(2θ)=2(cos(θ))^2-1 から…

x=frac[√(1+cos(θ))=√2*|cos(θ/2)|…0<θ<2π

y=frac[√(1+sin(θ)]=√2*|cos(π/4-θ/2)|

と同値だと思ったのですが…

グラフ描かせてみると…x=frac[√2]=0.4142… の直線が1本増えてしまいます…?

ちなみに...

左辺が整数：cos(θ)=-1,0 のときで…右辺が整数：cos(θ/2)=1/√2

θ=0,π,π/2

右辺から…frac{√2*cos(θ/2)}={0,(√2-1)=0.4142…,  0.999…} の3点

と考えればいいことまでは分かりました…^^;

面白い図ですが…説明できません…^^;

*早速に鍵コメT様から解説を頂戴しましたぁ Orz〜♪

「x=√2-1」は，多分，計算誤差やグラフを書くアルゴリズムといった，
ソフト側の原因によるものです．

曲線が分断される原因は，関数FractionalPartが不連続だからです．
(√(1+cos(x)),√(1+sin(x)))の軌跡を描いてみれば，
FractionalPartを付けたときになぜ曲線が分断されるかがわかると思います．

↑

上からしたへの変換の方が難しあるね ^^;

↓

これから、整数部分を引くわけだから...平行移動したものを作ると…

↓

最初の図が現れるわけですね♡

13516：旧跡...2個の直角三角形の重なり…パズル ^^

問題13516・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/blog/ より 引用 Orz〜

図のように、２つの直角三角形ＡＢＣとＤＥＦが重なっています。

このとき、三角形ＧＦＣの面積は何㎠ですか？

また、 三角形AGDの面積は何㎠ですか？

（２０１７年　愛光中学）

解答

・わたしの…

h/a=1/2

h/b=3/2

a:b=2:3/2=4:3

a+b=4

so…

3a+3b=7a=12

a=12/7

h=6/7

so…

△GFC=4*(6/7)/2=12/7 cm^2

△AGD=(5+18)*12/2-(12*18+10*5)/2+12/7

           =23*6-108-25+12/7

           =5+12/7=47/7 cm^2

ね ^^

↑

ミスってました ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

GからBEに垂線GHを下ろすと，・・・わたしの h=GH
CH:GH=12:18=2:3，FH:GH=10:5=2:1だから，・・・わたしの a=CH, B=FH なのでした…^^;
CH:GH:FH=2:3:6であり，GH=(3/8)FC=3/2(cm)．
よって，△CGF=3cm2となる．
求める面積は，
[台形ABED]-(△ABC+△DEF-△CGF)
=(18+5)*18/2-(12*18/2+10*5/2-3)=77(cm2).

13515：八進法と九進法として扱うと、その比が 97:136になる並びの数は？

問題13515・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37824081.html#37824081 より Orz〜

　７以下のいくつかの数字が並んでいます。

　これを八進法として扱った数と九進法として扱った数の比が 97：136 であるとき、

　この数の並びは？

　例えば、123 なら、123₍₈₎：123₍₉₎＝83：102 です。


★ 数値計算が面倒なので、適宜、電卓を使ってください。

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37836160.html より Orz〜

　まず、並んでいる数字の個数を求めます。

　(n＋1)個の数の並びを a₀a₁a₂……a_n-1a_n (a₀＞0) とし、

　(八進法として扱った数)/(九進法として扱った数) を R とします。

　また、Σを k＝0，1，2，……，n−1，n の和とすれば、

　R＝(Σa_k･8^n-k)/(Σa_k･9^n-k) になります。

　9ⁿ(Σa_k･8^n-k)−8ⁿ(Σa_k･9^n-k)＝Σa_k(9ⁿ･8^n-k−8ⁿ･9^n-k)＝Σa_k･72^n-k(9^k−8^k)≧0 、

　ここで、等号は a₁＝a₂＝……＝a_n-1＝a_n＝0 のとき成立します。

　9ⁿ(Σa_k･9^n-k) で割って、R−8ⁿ/9ⁿ≧0 です。

　9^n-1(Σa_k･8^n-k)−8^n-1(Σa_k･9^n-k)＝Σa_k(9^n-1･8^n-k−8^n-1･9^n-k)＝Σa_k･72^n-k(9^k-1−8^k-1) 、

　9^k-1−8^k-1 は k＝0 のとき 負 ，k＝1 のとき 0 ，k＞1 のとき 正 なので、

　a₀＝1 ，a₂＝……＝a_n-1＝a_n＝7 のとき最小になり、このとき、

　9^n-1(Σa_k･8^n-k)−8^n-1(Σa_k･9^n-k)＝9^n-1｛8ⁿ＋7･(8ⁿ−1)/7｝−8^n-1｛9ⁿ＋7･(9ⁿ−1)/8｝

　 ＝9^n-1(2･8ⁿ−1)−8^n-2(15･9ⁿ−7)＝2･9^n-1･8ⁿ−9^n-1−15･8^n-2･9ⁿ＋7･8^n-2

　 ＝−7･(9^n-1−1)･8^n-2−9^n-1＜0 なので、、

　9^n-1(Σa_k･9^n-k) で割って、R−8^n-1/9^n-1＜0 です。

　よって、8ⁿ/9ⁿ≦R＜8^n-1/9^n-1 です。

　八進法として扱った数と九進法として扱った数の比が 97：136 であり、

　8³/9³≦97/136＜8²/9² ですので、 n＝3 で、数字の並びは４個です。

　八進法として扱った数を 97k ，九進法として扱った数を 136k とすれば、

　1000₍₈₎≦97k≦7777₍₈₎ ，1000₍₉₎≦136k≦7777₍₉₎ だから、

　512≦97k≦4095 ，729≦136k≦5740 、6≦k≦42 になります。

　また、数字の並びの右端(１の位)は 97k÷8 の余り かつ 136k÷9 の余りですので、

　この余りが等しくなり、97k≡k (mod 8) ，136k≡k (mod 9) より、

　k÷8 ，k÷9 の余りが等しくなり、 k÷72 の余りが 7以下、k＝6，7 です。

　97･6＝582＝1106₍₈₎ ，136･6＝816＝1106₍₉₎ ，97･7＝679＝1247₍₈₎ ，136･7＝952＝1267₍₉₎ 

　ですので、

　この数字の並びは 1106 です。

*これは怪しいかも知れないですが何とか辿り着けましたぁ ^^;v

136-97=39
9-8=1
9^2-8^2=17
9^3-8^3=217
9^4-8^4=2465
9^5-8^5=26281

97>7*8+8
9^4/8^4=6561/4096>136/97

so…3 or 4桁…
3桁の場合
9^2/8^2=81/64<136/97
9^3/8^3>136/97>(9^3+9^2+9+1)/(8^3+8^2+8+1)
so…4桁の中にある ^^
2465a+217+17c+d≡8a+22b+17c+d≡0 mod 39
9^3a+81b+9c+d≡0 mod 136・・・49a+81b+9c+d≡19 mod 39
8^3a+64b+8c+d≡0 mod 97・・・27a+64b+8c+d≡19 mod 39
22a+17b+c≡0 mod 39
91a+d≡13a+d≡19 mod 39
a=1,d=6, b=1,c=0 ♪
a=4,d=6, b=4,c=0
a=7,d=6,b=7,c=0
後２者は満たさず…

けっきょく…
1106 だけね ^^

13514：テストの回数…パズル ^^;

問題13514・・・http://chosen-sansu.tokeruka.net/?p=7139 より 引用 Orz〜

花子さんは算数のテストをN回受けました。花子さんのとった点数の平均点はちょうど８１点でした。このうち、最高点９７点と最低点５３点の２回のテストの得点を除いた平均点はちょうど８３点でした。Nにあてはまる数を求めなさい。

（２０１５年　逗子開成中学）

解答

デジャヴー?

算数解法思いつけず=頭回らず…^^;

81*N-(97+53)=83*(N-2)

2N=166-150=16

so…

N=8

・上記サイトより Orz〜

*見事ですねぇ☆

算数はおもろいわ♪

お気に入りぃ〜 ^^v

13513：ある規則に従って起立・着席を繰り返す…^^;

水が淀んでなかりせば...^^;…

小鮒釣りしかの川…

ま、ザリガニ採りしかのせせらぎ*だったけど…

*「浅瀬（小川）などの水の流れる音」のことですのねぇ ^^

問題13513・・・http://jukensansu.cocolog-nifty.com/planet/ より 引用 Orz〜

193人の人が横一列に並んですわっています。

まず、まん中の１人が立ちあがりました。

そこからは、次のルールでみんな立ったりすわったりします。

①　となりの人が立ちあがってから、１秒後に、自分も立ちあがります。

②　立ちあがったら、１秒後にすわります。

③　ただし、両どなりの人が同時に立ちあがった場合は、１秒たっても自分はすわったままでいます。

（１）最初の１人が立ちあがってから８秒後に、何人が立ちあがりますか。

（２）96秒後には何人が立ちあがりますか。

（第５回算数オリンピック、トライアル問題より）

解答

規則がよく理解できましぇん ^^;

・鍵コメT様からの丁寧なるヒント図(解答みたいなものでしたけど…^^;v) Orz〜♪

規則に従えば，8秒後までについて，立っている人は次図のようになります．

○○○○○○○○●○○○○○○○○
○○○○○○○●○●○○○○○○○
○○○○○○●○○○●○○○○○○
○○○○○●○●○●○●○○○○○
○○○○●○○○○○○○●○○○○
○○○●○●○○○○○●○●○○○
○○●○○○●○○○●○○○●○○
○●○●○●○●○●○●○●○●○
●○○○○○○○○○○○○○○○● 

・鍵コメT様からの華麗な(わたしは未消化…^^;)解答 Orz〜

やや大げさな解答かもしれませんが，私は次のようにしました．

真ん中，つまり97人目の人は0秒後に立ち上がり，以下，
奇数秒後は偶数番目の人，偶数秒後は奇数番目の人しか立ち上がりません．
また，n秒後までには，中央からn人より多く離れた人は立ち上がりません．
以上の考察で立ち上がる可能性のない人を×に変えると，次のようになります．
××××××××●××××××××
×××××××●×●×××××××
××××××●×○×●××××××
×××××●×●×●×●×××××
××××●×○×○×○×●××××
×××●×●×○×○×●×●×××
××●×○×●×○×●×○×●××
×●×●×●×●×●×●×●×●×
●×○×○×○×○×○×○×○×● 

お気づきかと思いますが，両斜め上の一方のみ黒のときだけ黒になるので，
これは，パスカルの三角形での奇数の配置を考えたことになります．

*気づけませんでしたが…^^…異なる性質のものの和=奇数ってことあるね ^^;

(1) 具体的に調べれば，結論は2人とわかりますが，
これは8C0,8C1,8C2,…,8C8のうちの奇数に対応します．
(2) 96C0,96C1,96C2,…,96C96のうちの奇数の個数です．
これは算数としてはかなりの難問だと思いますが，
96を2進法で表して，96=1100000[2]となり，
「1」が2つ含まれることから，求める人数は2^2=4(人)です．
この考え方は，直接には問題9253で使われていますし，

*https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=9253&sk=0 参照

問題12597の考え方も同種のアイディアと言えます.

*https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=12597&sk=0 参照

*難しあるね…^^;…Orz〜