アットランダム≒ブリコラージュ

13548：a進数…クイズ ^^

問題13548・・・http://science-log.com/wp/数学/創作整数問題5解法＆創作整数問題6/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

abc=124 or 421 or 842

(1)

111(5)=5^2+5+1=31 

or

444(5)=4*(5^2+5+1)=4*31=124

or

222(5)=2*31=62 もありですね ^^

(2)

a≠1

so…

a=4

12211(4)=4^4+2*4^3+2*4^2+4+1=421

a=8

24422(8)=2*8^4+4*8^3+4*8^2+2*8+2=10514

ね ^^

↑

意味がじぇんじぇん違ってましたわ ^^;; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

[abc]の候補は，124,421,842の他に248,139,931があります．
(1),(2)とも，このような[abc]をNとし，そのNについての条件ですね．

(1) 124=444[5]で適する．
421,842,248,139,931はいずれも5進法で4桁以上であり不適．・・・>5^3=125
結論は124です．
(2) 421=12211[4]で適する．
842の8進表示，248の2進表示，931の9進表示はいずれも5桁にならず不適．
結論は421です．

842/8=105…2

105/8=13…2

13/8=1…5

248/2=124…0

124/2=62…0

62/2=31…1

31/2=15…1

15/2=7…1

7/2=3…1

3/2=1…1

931/9=10…4

10/9=1…1

*どうも読解力欠如…^^;;;…

・鍵コメH様からのコメ頂戴 Orz〜

この問題の解とはなりませんが
469,964も等比数列になってますね

*たしかにでしたね ^^☆

13547：証明...n^2+n+2≠0 mod 5

問題13547・・・http://science-log.com/wp/数学/千葉大学2017年先進科学Ⅰ第５問/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

与式=n(n+1)+2

n(n+1) の mod 10を考える…

以下の「=」は「≡」の意味…Orz

1*2=2

2*3=6

3*4=2

4*5=0

5*6=0

6*7=2

7*8=6

8*9=2

9*10=0

n(n+1)は偶数で8がでないので…+2は5の倍数になれない ^^

・鍵コメT様からのエコ解法 Orz〜

n^2+n+2≡n^2+6n+12 (mod 5)であり，
n^2+6n+12=(n+3)^2+3.
平方数の一の位は2,7にはなれないので，これは5の倍数ではない．

*何か上手い方法がありそうな匂いがしてましたのですが…^^;☆

13546：x(1)=1, x(n+1)=3^(x(n)) のときx(10)≡? mod 10

問題13546・・・http://science-log.com/wp/数学/東京大学2016年前期文系第４問/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

3^3=27

3^27≡(3^4)^6*3^3=3^3　mod 10

so…

x(10)≡3^(3^3)≡3^3≡7

ね ^^

13545：n進法での買い物…クイズ ^^

問題13545・・・http://science-log.com/wp/数学/創作整数問題6解法＆創作整数問題7/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

2000/4=500

(p^2+1)*(p+3)=500

10>p>5

p+3=10

p=7進法ね ^^

13543：正の整数nの正の約数の積が24^240となる n は？

問題13543(友人問)

正の整数であって、正の約数すべての積が24^240となるようなものをすべて求めよ。

解答

・わたしの…

約数を小さい順に並べると…

両端同士の積=n

それらの積が平方数になるときは...約数の個数が偶数(2k)個

n^k

240=2^4*3*5

24^3=(2^3*3)^3=2^9*3^3・・・10*4<(2^4*5)*2=160

24^4=2^12*3^4・・・65奇数で無理

24^5=2^15*3^5・・・96=(2^4*3)*2　ビンゴ♪

24^6=2^18*3^6・・・奇数で無理

24^8=2^24*3^8・・・奇数で無理

24^15=2^45*3^15・・・616＞2^4*2=32

もうないですね ^^

so…24^5 だけね ^^

・鍵コメT様からのスマートな解法 Orz〜

一般に，自然数nの正の約数の相乗平均は√nであるから，
正の約数の積は，√nの自然数乗となり，
それが24^240であれば，n=24^mと表される．
24^m=(2^(3m))*(3^m)であり，正の約数は(3m+1)(m+1)個あるから，
24^240=24^(m(3m+1)(m+1)/2)であり，条件はm(3m+1)(m+1)/2=240.
mは自然数だから，m=5.
結論は24^5で正しいです．

*両端を掛けたものが 24^m　だから... (3m+1)(m+1)/2 回掛けたもの…

so…m(3m+1)(m+1)/2=240 を解けばいいのかぁ ^^☆