アットランダム≒ブリコラージュ

13570：約数の個数が12個,7番目の約数は12となる正の整数Nは？…パズル ^^

問題13570・・・http://science-log.com/wp/数学/一橋大学2017年%E3%80%80前期第２問/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

12=2^2*3

1,2,3,4,6,12 の間にあるとすれば…7,8,9 ね ^^

so…

2^2*3*7・・・3*2*2=12

2^3*3・・・4*2=8 これに2を掛けても12にはならずボツ…

2^2*3^2・・・3*3=9 これに2を掛けても12にはならずボツ…

so…

N=2^2*3*7=84

ね ^^

↑

ミス＆勘違いも甚だしかったなぁ…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

他に「間に入るのが11」の132があります．
また，8が約数になるとき，2^kのkは3以上ならよいので，(2^5)*3=96が，
9が約数になるとき，3^kのkは2以上ならよいので，(2^2)*(3^3)=108が
それぞれ可能です．
結論は，84,96,108,132ですね．

*面白い問題だったのになぁ ^^;♪

13569：連立方程式…x^2=yz+7, y^2=zx+7, z^2=xy+7…整数の組(x,<=y,<=z)…は？

問題13569・・・http://science-log.com/wp/数学/一橋大学2017年%E3%80%80前期第２問/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(y^2-x^2)=z(x-y)

x=y のとき…

x^2=xz+7

z^2=x^2+7

z(z-x)=0

x=y=z, z=0 のどちらも満たさず…

x-y≠0 のとき…

y+x=-z

z^2-7=xy

t^2+zt+z^2-7=0

(t+z/2)^2=7-z^2+z^2/4=7-3z^2/4>0

z=±1,2,3

この中にあるはずで…

試行錯誤で…^^;

-1,-2,3 が満たしますね ^^

↑

まだありましたです ^^; Orz…

↓

・鍵コメT様へ ^^

「-3,1,2」もありますね．

*たしかに!! ^^;v

13568：一般項からの計算…^^;

デザートに頂きたいものね ^^

問題13568・・・http://science-log.com/wp/数学/高知大学2017年医前期第２問/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

√(4^n+2^(n+1)+29)

=√(2^n+1)^2+28)

[a(1)]=[√37]=6

[a(2)]=[√53]=7

[a(3)]=[√109]=10

(2)

(2^n+1)^2=4^n+2^(n+1)+1

(2^n+2)^2=4^n+2^(n+2)+4

(2^n+2)^2-4^n-2^(n+1)-29=2*2^(n+1)-25>=2*2^5-25=64-25=39>0

so…

[与式]=2^n+1

(3)

<a(n)>=a(n)-[a(n)]=√(4^n+2^(n+1)+29)-(2^n+1)

=√((2^n+1)^2+29)-(2^n+1)

lim[n→∞](2^n+1)^2+29-(2^n+1)^2)/(√((2^n+1)^2+29)+(2^n+1))

=29/∞

=0

(4)

29/(√((2^n+1)^2+29)+(2^n+1))<=1/8

232<=√((2^n+1)^2+29)+(2^n+1)

PCに計算させたけど…^^;

n=7 のとき…

右辺は…258より大

n=6 のとき…130余り

so…n=>7

(4) はどういう意味があるんでっしゃろ…^^;…?

↑

ミスってました ^^;

赤字で訂正 Orz…

(鍵コメT様ご指摘グラッチェ〜m(_ _)m〜)

13567：3n^3+nとn^3+1との最大公約数...

こんなイタリアン風の方がごちそうに思えるわ ^^

問題13567・・・http://science-log.com/wp/数学/学習院大学2017年理第２問/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

(3n^3+n,n^3+1)=(n-3,n^3+1)

n=3

(n-3,m^3+1)=(n-3,1-3n^2)=(n-3,9n+1)=(n-3,28)

n-3=1,2,4,7,14,28

n=4,5,7,10,17,31

ですべて…

so…g≠5

or

n=5m…n^3+1≡1　mod 5

n=5m+1…n^3+1≡6

n=5m+2…8+1≡3

n=5m-3…-8+1≡-2≡3

n=5m-1…3n^3+n≡-3-1≡-4≡1

so…g≠5

(2)

上から…g=14のときのMin(n)=17 ね ^^

13566：証明...a^3-b^3が3の倍数なら9の倍数...

問題13566・・・http://science-log.com/wp/数学/千葉大学2017年前期第３問/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

(a-1)a(a+1)

連続３数なので…どれかは3の倍数だから…

(2)

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3a^2b-b^3

so…

a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b) から言えますね…

(3)

a^3-b^3=a^3-a-(b^3-b)+(a-b)・・・(1)から左辺が3の倍数ならa-bは3の倍数

so…

(2)から、a^3-b^3 は3^2=9の倍数ね ^^