アットランダム≒ブリコラージュ

13579：ズッカーマン数とハーシャッド数ってのがあるのねぇ…^^

問題13579・・・☆オリジナルの高校数学の問題を掲載していきます☆ http://mm2445.blog.fc2.com/?no=383 より 引用 Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^;v

13578：40x40の対角線上の黒石を含む正方形の個数は?...

問題13578・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/102900.html#37839028 より 引用 Orz〜

　9×9 の方眼の左上から右下の９個の方眼に●を描いてあります。

　この図には●を含む正方形が大小合わせて 145個あります。

　では、40×40 の方眼の左上から右下の40個の方眼に●を描いてある図には、

　●を含む正方形が大小合わせて何個？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37851517.html より Orz〜

[解答1]

　9×9 の場合、●に９から１の番号を振ります。

　●を含む正方形には、●の中心をつなぐ直線に関して対称なものと非対称なものがあります。

　対称なものは、●１個または２個を選んでそれを左上隅，右下隅とする正方形の個数で、₉Ｈ₂＝45 個です。

　非対称なものは、

　４個を選んでその番号を大きい方から a，b，c，d として、a−c＝b−d であるとき、

　a，dを左上と右下の隅とする正方形(黄)と２辺を共有し b〜c の●を含む正方形が２個できます。

　これは、b＝c のときも同様です。

　c＝a＋d−b なので、a，b，d を選ぶことになり、選び方は ₉Ｃ₃＝84 通りですが、

　そのうち、b＝c となるのは、b＝c＝(a＋d)/2 なので、a，d が偶数どうし，奇数どうしの場合で、

　₄Ｃ₂＋₅Ｃ₂＝16 通り、b＞c，b＜c になるのは同数ですので、b＞c となるのは (84−16)/2＝34 通りです。

　よって、45＋2(34＋16)＝145 個です。

　式のまま書けば、9Ｈ2＋2｛(₉Ｃ₃−₄Ｃ₂−₅Ｃ₂)/2＋₄Ｃ₂＋₅Ｃ₂｝＝₉Ｈ₂＋₉Ｃ₃＋₄Ｃ₂＋₅Ｃ₂ です。

　40×40 の場合も同様に考えて、

　₄₀Ｈ₂＋₄₀Ｃ₃＋₂₀Ｃ₂＋₂₀Ｃ₂＝820＋9880＋190＋190＝11080 個です。


[解答2]

　正方形には、●の中心をつなぐ直線に関して対称なものと、

　右上の方が面積が広いものと左下の方が面積が広いものがあります。

　それぞれ、対称正方形，右上正方形，左下正方形ということにします。

　そして、それぞれのマスに条件で ●を含む正方形の個数−●を含まない正方形個数 を記入します。

　　●のマスには、そのマスを左上隅とする正方形(すべて●を含む)の個数、

　　右上のマスには、そのマスを右上隅とする右上正方形の個数、

　　左下のマスには、そのマスを左下隅とする左下正方形の個数、

　Γ形に区切ってその和をとれば、●の所が奇数のときは 1，偶数のときは 0 ですので、

　9×9 の場合、●を含む正方形の個数−●を含まない正方形の個数＝5 となります。

　この 5 は 1 〜 9 までの奇数の個数に相当します。

　正方形は全部で 1²＋2²＋3²＋4²＋5²＋6²＋7²＋8²＋9²＝285 ですので、

　●を含む正方形の個数は (285＋5)/2＝145 個です。

　40×40 の場合も同様に考えて、

　(1²＋2²＋3²＋……＋40²＋20)/2＝(40･41･81/6＋20)/2＝11080 個です。

*最後の式は奇麗ねぇ♪

わたしゃ...白の方を数えて全体から引きました ^^

9x9 のとき…
全体から白の正方形を引く…
(9^2+8^2+…+1^2)-2((8+7+…+1)+(6+5+…+1)+(4+3+…+1)+(2+1))=9*10*19/6-(8*9+6*7+4*5+2*3)=145
so…
40x40のとき…
40*41*81/6-(39*40+37*38+35*36+…+3*4+1*2)
=22140-Σ[k=1〜20] 2k(2k-1)
=22140-4*20*21*41/6+20*21
=11080