問題13406・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37791905.html#37791905 より Orz〜
図のように、６個の正方形が頂点を共有して六角形ができています。
外側の黄色の正方形３つの面積がそれぞれ 370，400，442 であるとき、
六角形の中で正方形以外(水色の部分)の面積は？
解答
中図のように、正方形の１辺の長さを a，b，c，d，e，f ，面積を A，B，C，D，E，F とします。
また、白の正方形で囲まれた中央の三角形の面積を S とします。
右上図のように、３辺が a，b，f の三角形を 90ﾟ 回転すれば、この三角形の面積も S で、
パップスの中線定理により、
f2＋c2＝2(a2＋b2) になり、
f2＝2a2＋2b2−c2 、F＝2A＋2B−C です。
同様に、他の三角形の面積も S で、D＝2B＋2C−A ，E＝2C＋2A−B です。
次に、面積Aの三角形の下の四角形をKLMNとすれば、△KLN＝S ，△KMN＝S ですので、
KNを底辺とするときの高さも等しく、その高さを h とします。
当然、四角形KLMNは KN//LM である台形になります。
また、LN2＝2A＋2E−C＝2A＋2(2C＋2A−B)−C＝6A−2B＋3C 、
KM2＝2A＋2F−B＝2A＋2(2A＋2B−C)−B＝6A＋3B−2C です。
台形KLMNにおいて、K，N からの垂線で LMを区切り、その長さを x，a，y とすれば、
x2＋h2＝KL2＝E＝2C＋2A−B ，y2＋h2＝MN2＝F＝2A＋2B−C 、
よって、x2−y2＝3C−3B 、(x＋y)(x−y)＝3C−3B になり、
(x＋a)2＋h2＝LN2＝6A−2B＋3C ，(y＋a)2＋h2＝KM2＝6A＋3B−2C ，
よって、(x＋a)2−(y＋a)2＝5C−5B 、(x＋y＋2a)(x−y)＝5C−5B です。
従って、5(x＋y)(x−y)＝3(x＋y＋2a)(x−y) 、
x≠y のとき、5(x＋y)＝3(x＋y＋2a) 、2(x＋y)＝6a 、x＋y＝3a であり、
x＝y のとき B＝C で、(x＋a)2＋h2＝6A＋B ，x2＋h2＝2A＋B だから、
(x＋a)2−x2＝4A 、2ax＋a2＝4a2 、2x＝3a となって、
いずれの場合も x＋y＝3a 、x＋a＋y＝4a 、LM＝4KN 、△LMN＝4△KLN＝4S 、台形PQRS＝5S です。
他の台形についても同様で、面積は 5S です。
水色の部分の面積は、4S＋3･5S＝19S です。
本問では、D＝2B＋2C−A＝370 ，E＝2C＋2A−B＝400 ，F＝2A＋2B−C＝442 として、
D＋E＋F＝3A＋3B＋3C＝1212 、2A＋2B＋2C＝808 、3A＝438 ，3B＝408 ，3C＝366 、
A＝146 ，B＝136 ，C＝122 、a＝√146 ，b＝√136 ，c＝√122 、
正方形以外の面積は 方眼の図のように、19S＝19(11･11−6･10/2−1･11/2−11･5/2)＝1102 です。
*これは面白い問題でしたわ☆
真ん中の△の面積=S
外側をくっつけると...真ん中の△=3S
so...元の正方形はそれぞれ1/3
Sの面積は…ヘロンから…以下のようにPCに計算させ…
(4S)^2
=(√(442/3)+√(400/3)+√(370/3))(-√(442/3)+√(400/3)+√(370/3))(√(442/3)
-√(400/3)+√(370/3))(√(442/3)+√(400/3)-√(370/3))
=53824
so…
S=58
外側の正方形の一つに残りの二つをくっつけたら…
平行四辺形になり…その面積=2S
so...けっきょく…
(4+3*3+2*3)*S=19*58=1102
*この外側にまた正方形をくっつけて行っても求まりそうな気もしたり…?
考えてみまっす ^^
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