アットランダム≒ブリコラージュ

13957：直角三角形に内接する正方形…^^;

問題13957・・・う山先生のサイト より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

やっと気付けたけど...ピタゴラス使ってます…^^;

13956：楕円内の面積Maxの△...

問題13956・・・http://micci.sansu.org/suugaku/math-151.htm より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

3x^2+y^2=36

X^2+Y^2=6^2・・・X=√3*x, Y=y

(X,Y)座標においては、面積最大は正三角形で、3*(6^2*(√3/2)/2)=27√3

(x,y)座標では…1/√3 なので…27　ね ^^

13955：無限級数和...

問題13955・・・http://blog.livedoor.jp/ddrerizayoi/archives/50571429.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

図を描けば…2

(2) 1/2+1/8+1/32+…=S　4S=2+S…S=2/3

(3) (1/2){(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+…}=1/2

(4) {1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)+…+(1/(2*4)+1/(4*6)+…)}

　　=(1/2)*(1+1/2)=3/4

(5) 1/2+2/3+3/4+…<(1/2+1/2)+(1/2+1/2)+…=∞

(6) 1/2+1/4+1/8+1/16+…+(1/2)(1/2+1/4+…)+(1/4)(1/2+1/4+…)+…

　　=2*(1+1/2+1/4+…)=4

(7) ∞ (これは有名で...調和級数は発散...http://mathtrain.jp/tyowa 参照☆)

(8) わからず…^^;

http://www7b.biglobe.ne.jp/~ykoba/kyuusuu.html より 引用 Orz〜

「無限和が ln 2 になる級数です。（※ ln は、自然対数（ネイピア数 e（＝2.718281828・・・）を底とする対数））

　1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+・・・・＝Σ_n=1〜∞ (-1)^n-1/n＝ln 2 　　　　（式３） 

これは、交代調和級数と呼ばれるものです。 

この（式３）は、ln(1+x) から容易に求めることが出来ます。ln(1+x) をテイラー展開すると、

ln(1+x)＝Σ_n=1〜∞ (-1)^n-1/n・xⁿ 　（発見者：1668年　ニコラス・メルカトル） となるので、
この式に x＝1 を代入すれば、（式３）が得られます。 」

ちなみに…

「1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+・・・・＝Σ_n=1〜∞ (-1)^n-1/(2n-1)＝π/4 　　　　（式１） 

これは、1673年にライプニッツが発見した公式ですが、実際には、1400年ころ、マーダヴァ（インドの数学者）により、最初に 発見されています。

この（式１）は、次のようにして導くことが出来ます。
まず、tanθ＝x とおくと、三角関数の公式などから、dθ/dx＝1/(1+x²)＝1-x²+x⁴-x⁶+x⁸-・・・・・ となります。そして、この式の両辺を x について不定積分すると、
θ＝x-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+x⁹/9-・・・・・と言う式になります。θ＝π/4 の時、x＝tan(π/4)＝1 なので、 

θ＝π/4、x＝1 をこの式に代入すると、（式１）が得られます。 」

(9) 1/2+1/2^2+1/2^3+…+1/3+1/3^2+1/3^3+…

　　=1+(1/3)/(1-1/3)=1+1/2=3/2

(10) (9)と同じと思う…けど ?

(11) 2

↑

(11)間違いなのねぇ…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(6) 私には数列の規則が見えません．4/9の次は何なのでしょうか?

*4/16 の誤植と忖度しましたです…^^;

(8) これは有名な級数です．各項が0に収束するから，
第偶数項までの和を考察すればよく，
第2n部分和1-1/2+1/3-1/4+…+1/(2n-1)-1/(2n)は，
1+1/2+1/3+…+1/(2n)-2(1/2+1/4+1/6+…+1/(2n))
=(1+1/2+1/3+…+1/(2n))-(1+1/2+1/3+…+1/n)
=1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)
=(1/n)*Σ[k=1..n](1/(1+k/n))
となるので，n→∞のとき，∫[0..1](1/(1+x))dxに収束します．
この積分は，[log(1+x)][0..1]=log2となります．

(10)は「(9)と同じ」でよいです．
ただし，根拠として「各項が0に収束」が必要です．
(これが保証されないと，第偶数項までの和を調べるだけでは不十分となり，
「(9)と同じ」とする根拠が失われます．)

(11)は発散です．第奇数項までの和は2ですが，
第偶数項までの和は
2-3/2,2-4/3,2-5/4,2-6/5,…
であり，1に近づきますね．
この級数は，「各項が0に収束」の保証なしには，
第偶数項まで，または第奇数項までの和だけを考察してはいけない
ことの実例となっています． 

*なんとなくよく分かりましたわ ^^♪

空間の直線同士が垂直であることの証明…^^

http://blog.livedoor.jp/ddrerizayoi/archives/46176885.html より 引用 Orz〜

*上手く言えるものですねぇ♪

13954：正整数方程式...

問題13954・・・http://blog.livedoor.jp/ddrerizayoi/archives/40850892.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

x(y+3)-(y+3)=5

(x-1)(y+3)=5

x-1=1,y+3=5

x=2,y=2

(2) 

2x^2-x(5y-3)-(3y-2)(y-1)=-7

(2x+y-1)(x-3y+2)=-7

2x+y-1=7

x-3y+2=-1

y=2,x=3

(3)

x=y=1

but...

3x^2+2xy+2y^2-4x-5y+2 が因数分解できない…^^;

(4)

2<=x<=y<=z

3/x>=1

x=2,3

x=2,y=3,z=6

x=y=z=3

(5)

3^x=y^3+1

グラフで考えらた、解は１個

x=2,y=2

(5)

3^x=y^2-40

これもグラフから、解は1個 

x=2,y=7

・上記サイトより Orz〜

(3)は…

↑

結構間違ってました…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(3) 確かに因数分解はできません．
方法はいろいろありますが，例えば
(x+y-2)^2+2x^2+y^2-y-2=0から，y^2-y-2=-(x+y-2)^2-2x^2<0.
y=1に限り，3x^2-2x-1=0となって，x=1.

(4) (x,y,z)=(2,3,6)に対応して，実際はその順序替えも解です．
さらに，(x,y,z)=(2,4,4)とその順序替えがあります．

(5)(6) 「3^x=x^3+1」などならばグラフで考えるのもありですが，
この問題では厳しいと思います．・・・そうなのかぁ…^^;

(5) y^3+1=(y+1)(y^2-y+1).
y+1=3^n (nは自然数)と表され，y^2-y+1=(y+1)^2-3y=(3^n)^2-3(3^n-1)=3^(2n)-3^(n+1)+3
=3(3^(2n-1)-3^n+1).

()内は3の倍数でないから，3^mと表されるならばm=0に限り，2n=n+1からn=1. 
よって，y=3^1-1=2であり，x=2.

(6) 明らかにyは奇数．よって，右辺は4で割って1余り，するとxは偶数．

・・・(4-1)^x≡1　mod 4 から、xは偶数なのね ^^

x=2nとおく．
y^2-3^(2n)=40から，(y+3^n)(y-3^n)=40となって，
(y+3^n,y-3^n)=(40,1),(20,2),(10,4),(8,5)に限り，適するものを選んで，
y+3^n=10,y-3^n=4,y=7,n=1,x=2. 

*さらさらと上手く解けるものですのねぇ ^^;☆