アットランダム≒ブリコラージュ

14052：底辺が等しい直角三角形2個をくっつけた…^^

問題14052・・・「浮浪の館過去問」http://www.geocities.jp/hagure874/moldfig.html より Orz〜

解答

・わたしの…

これはトレミーそのものぉ〜 ^^

AC*BD=(3/5)AC*AD+(4/5)AC*AD

BD=AD*(7/5)

so…

AD=35*(5/7)=25 cm

ね ^^

・上記サイトより Orz〜

*鮮やかぁ〜☆

お気に入りぃ〜^^♪

この図で...トレミーの定理が導けるはずなんだけど…?

よくわからない…^^;;

14051：阿弥陀籤の必要な横棒の個数…パズル ^^;

問題14051・・・「浮浪の館過去問」http://www.geocities.jp/hagure874/moldfig.html より Orz〜

解答

よく分からなかった ^^;

・上記サイトより Orz〜

*納得ぅ〜☆

お気に入りぃ〜^^♪

14050：全員が同じ当選金をもらう時の準備金は？…パズル ^^

問題14050・・・「浮浪の館過去問」http://www.geocities.jp/hagure874/moldfig.html より Orz〜

解答

・わたしの…

同じ金額=x

準備金=m

21+(m-21)/2001=22+(m-x-22)/2001=x

2001*x=22*2001+m-x-22=21*2001+m-21

x=2001-1=2000

2001*2000=21*2001+m-21

m=21+2001*(2000-21)=2000*2001-21*2000=2000*(2001-21)=3960000円

or

最後はx円が残ってる…

それまでに、(x-21)+1人が x円

合計=x(x-20)円

so…

21+(x^-20x-21)/2001=x

x=20, 2000

x=2000

so…

m=2000*(2000-20)=3960000円　ね ^^

14049：△…内接円と等差数列...

問題14049・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37968373.html#37968373 より Orz〜

　半径が 1 の円に内接する三角形があり、辺の長さを a，b，c 、その内接円の半径を r とします。

　r，a，b，c が等差数列をなすとき、b＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37979594.html より Orz〜

[解答1]

　r＜a＜b＜c であり、r＝2k−2d ，a＝2k−d ，b＝2k ，c＝2k＋d とします。

　(a＋b＋c)/2＝3k なので、三角形の面積 S はヘロンの公式により、

　S＝√｛3k(3k−a)(3k−b)(3k−c)｝＝k√｛3(k＋d)(k−d)｝ になります。

　S＝3kr なので、k√｛3(k＋d)(k−d)｝＝3k(2k−2d) 、√｛3(k＋d)(k−d)｝＝3(2k−2d) 、

　3(k＋d)(k−d)＝36(k−d)² 、k＋d＝12(k−d) 、13d＝11k です。

　外接円の半径を R とすれば、4RS＝abc より、

　4k√｛3(k＋d)(k−d)｝＝(2k−d)･2k･(2k＋d) 、2√｛3(k＋d)(k−d)｝＝(2k−d)(2k＋d) 、

　12(k＋d)(k−d)＝(2k−d)²(2k＋d)² 、13²･12(13k＋13d)(13k−13d)＝(26k−13d)²(26k＋13d)² 、

　13²･12(13k＋11k)(13k−11k)＝(26k−11k)²(26k＋11k)² 、13²･12･24k･2k＝(15k)²･(37k)² 、

　13²･12･24･2＝15²･37²k² 、15･37k＝13･24 、k＝104/185 、b＝2k＝208/185＝1．1243243…… です。


[解答2]

　△ABCの A，B，C の対辺をそれぞれ a，b，c とし、s＝(a＋b＋c)/2 とすれば、

　A，B，C と各辺と内接円の接点との距離は s−a，s−b，s−c ですので、

　1/tan(A/2)＝(s−a)/r ，1/tan(B/2)＝(s−b)/r ，1/tan(C/2)＝(s−c)/r です。

　r，a，b，c が等差数列をなすので、1/tan(A/2)，1/tan(B/2)，1/tan(C/2) も等差数列で、

　r＝2a−b 、c＝2b−a 、s−c＝(a＋b＋c)/2−c＝(a＋b−c)/2＝(a＋b−2b＋a)/2＝(2a−b)/2＝r/2 、

　1/tan(C/2)＝(s−c)/r＝1/2 です。

　よって、1/tan(B/2)＝1/t とおけば、1/tan(A/2)＝2/t−1/2 になります。

　ここで、90ﾟ−A/2＝α ，90ﾟ−B/2＝β ，90ﾟ−C/2＝γ とおけば、

　tanα＝2/t−1/2 ，tanβ＝1/t ，tanγ＝1/2 になり、α＋β＋γ＝180ﾟ ですので、

　tan(α＋β)＝−tanγ 、(tanα＋tanβ)/(1−tanαtanβ)＝−tanγ 、

　tanα＋tanβ＝−tanγ＋tanαtanβtanγ 、tanα＋tanβ＋tanγ＝tanαtanβtanγ が成り立ち、

　2/t−1/2＋1/t＋1/2＝(2/t−1/2)(1/t)(1/2) 、3/t＝(1/t−1/4)/t 、3＝1/t−1/4 、t＝4/13 です。

　また、tan(B/2)＝t ですので、sinB＝2t/(1＋t²)＝(8/13)/(1＋16/169)＝104/185 、

　正弦定理より、b＝2･1･sinB＝208/185＝1．1243243…… です。


[参考]

　r，a，b，c が等差数列をなすとき、

　a：b：c＝(2k−d)：2k：(2k＋d)＝(26k−13d)：26k：(26k＋13d)＝(26k−11k)：26k：(26k＋11k)

　a：b：c＝15：26：37 で、最大角の余弦は −3/5 ，最小角の余弦は 35/37 です。

　図のように、辺が 3，4，5 のとき 内接円の直径が 2 、

　こちらは、直径を使って、2，3，4，5 が等差数列になるのは偶然だと思いますが、面白いです。

*手持ちの武器を総動員して…^^

PCに計算お願いしましたぁ ^^;v

b=x, 公差=y
3x*(x-2y)=x√(3(x^2/4-y^2))
x(x^2-y^2)=6x(x-2y), x>y>0
PCに解かせましたぁ ^^; Orz…
x=b=208/185 =1.1243…♪
ちなみに…公差=88/185
(ヘロンの公式での△ABCの面積S=r(a+b+c)/2=abc/(4*1) を使いました…^^;)

14048：蜂の巣の個数…^^;

問題14048・・・「浮浪の館過去問」http://www.geocities.jp/hagure874/moldfig.html より Orz〜

解答

・わたしの…

(5*6+6)+(4*6+6)+(3*6+6)+(2*6+6)+(1*6+6)+(0*6+6)+1

=6(5+4+3+2+1)+6*6+1

=127

6(7+6+…+1)+6*8+1

=217

6*(22+21+…+1)+6*23+1

=1663

so…

127+217+1663=2007

かと思ったら…間違ってる…^^;

・上記サイトより Orz〜

*巧いなぁ♪

別解も参照☆