アットランダム≒ブリコラージュ

14185：インド式数え方...

問題14185・・・☆オリジナルの高校数学の問題を掲載していきます☆ http://mm2445.blog.fc2.com より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

14184：ΣΣ1/(n^2-m^2)の極限値...

問題14184・・・出会いの泉 http://6626.teacup.com/shochandas/bbs? (GAIさん提示問) より Orz〜

nとmを異なる自然数としたとき

Σ[m=1~∞](Σ[n=1~∞]1/(n^2-m^2))

は如何なる極限値を持つでしょうか？

解答

・わたしの…

n>m とする…

n^2-m^2=(n+m)(n-m)

n+m, n-mの偶奇は同じなので…

1/(1*3)+1/(1*5)+1/(1*7)+…

1/(3*5)+1/(3*7)+1/(3*9)+…

1/(5*7)+1/(5*9)+1/(5*11)+…

…

1/(2*4)+1/(2*6)+1/(2*8)+…

1/(4*6)+1/(4*8)+1/(4*10)+…

1/(6*8)+1/(6*10)+1/(6*12)+…

so...

与式={(1+1/3+1/5+1/7+…)^2+(1+1/2+1/4+1/6+…)^2-ζ(2)-1}/2

ここで、1+1/2+1/4+1/6+…=1+(1/2)*調和数列=∞

so…

与式=∞

かなぁ ^^...

*どうもどこかおかしかったようです ^^;

・らすかる様のもの Orz〜

Σ[n=m+1〜∞]1/(n^2-m^2)
=Σ[n=m+1〜∞]1/{(n+m)(n-m)}
=(1/(2m))Σ[n=m+1〜∞]1/(n-m)-1/(n+m)
=(1/(2m)){(1/1-1/(2m+1))+(1/2-1/(2m+2))+(1/3-1/(2m+3))+…}
=(1/(2m)){1/1+1/2+…+1/(2m)}
=H(2m)/(2m)　※H(n)=1/1+1/2+1/3+…+1/n

Σ[n=1〜m-1]1/(n^2-m^2)
=(-1/(2m))Σ[n=1〜m-1]1/(m-n)+1/(m+n)
=(-1/(2m)){(1/(m-1)+1/(m+1))+(1/(m-2)+1/(m+2))+…+(1/1+1/(2m-1))}
={1/m-H(2m-1)}/(2m)

なので

Σ[n=1〜∞,n≠m]1/(n^2-m^2)
=H(2m)/(2m)+{1/m-H(2m-1)}/(2m)
={H(2m)+1/m-H(2m-1)}/(2m)
={1/(2m)+1/m}/(2m)
=3/(4m^2)

*そういう風に計算しちゃうわけかぁ…^^;☆

・GAI様想定解 Orz〜

Σ[m=1~∞](Σ[n=1~∞]1/(n^2-m^2))=Σ[m=1~∞]3/(4*m^2)
                                 =3/4*zeta(2)
                                 =3/4*π^2/6
                                 =π^2/8(≒1.233700550･･･)
ではないだろうかと考えました。
あくまで計算機に頼った予測なので、理論的裏付けは分かりません。

14183：14と15を1/2進法で表す…^^;

問題14183・・・https://ameblo.jp/dkomi3/entry-10939640441.html より 引用 Orz〜

(1) 1/2進法で「14」を表してください。

(2) 1/2進法で「15」を表してください。(アナロジー問 ^^)

解答

(1) 上記サイトより Orz〜

「実際に1/2進法で「１４」を表記するための計算をすると、

1x(1/2)^-3 +1x(1/2)^-2 + 1x(1/2)^-1 + 0x(1/2)^0 = 14

となるため、1/2進法で14は、 

0.111 

と表記することになる…」

*そっか!! 面白いですねぇ ^^

納得ぅ〜^^♪

(2)

わたしの…

15だったら...

15=2^3+2^2+2+1=1111

so…1/2進法なら…

1=1/2+1/4+1/8+…

so…0.111+0.11111…=0.222111….=1.110111…

ってなことになるのかなぁ…?

10進法で…1=0.999…

so…

1/2進法では…1=0.111…

so…

15は…1.111=1.110111...の両方の表し方がありそうね…^^;

14182：小数を3進法で表す…^^;

問題14182・・・http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/base2_4.htm より 引用 Orz〜

(1)３進法で表された小数10.12(3)を10進法の小数で表してください．

(2)10進法で表された小数5.7を３進法の小数で表してください．

解答

・わたしの…

(1)

3+1/3+2/3^2=3+5/9=3.555…

(2)

?

・上記サイトより Orz〜

（解説）
（整数部分）
5=1×3+2=12(3)

（小数部分）

[1]　３倍すると
0.7×3=2.1 ←[2]頭の数字は2
[3]　２を取り除くと
0.1

[1]　３倍すると
0.1×3=0.3 ←[2]頭の数字は0
[3] ０だから取り除いても取り除かなくても同じ
0.3

[1] ３倍すると
0.3×3=0.9 ←[2]頭の数字は0
[3]　０だから取り除いても取り除かなくても同じ
0.9

[1]　３倍すると
0.9×3=2.7 ←[2]頭の数字は2
[3]　２を取り除くと
0.7

=== 初めの問題に戻っているので≪繰り返しになる≫ ===
小数部分は0.2002 2002 ···(3)（循環小数） 

（全体で）12.2002 2002 2002 ···(3)（循環小数） 

*なるほど…^^;☆

14181：旧跡…あるフォルムの□...

看護婦さんが探して来てくれたぁ ^^;v

問題14181・・・算チャレ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

図のような、ＢＣ＝６cm、ＡＤ＝８cmの四角形ＡＢＣＤがあります。
いま、対角線ＡＣ上に２点Ｐ、Ｑがあり、ＡＰ＝ＤＰ＝ＢＱ＝ＣＱ

かつ∠ＢＱＣ＝∠ＣＰＤかつＰＱ＝５cmとなっています。
このとき、この四角形ＡＢＣＤの面積は何cm²であるかを求めてください。

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

今回は気付きやすかったです ^^v