アットランダム≒ブリコラージュ

14307：1〜9から異なる3個の数の和が3の倍数になる3組の分け方は何通り？

問題14307・・・出会いの泉 http://6626.teacup.com/shochandas/bbs? よりksさん提示問 Orz〜

１〜９の数を、３個づつ、三組に分けたとき、どの組のそれぞれの和も３の倍数となる
分け方は、何通りあるか。」という、受験問題があり、３７通りだとおもうのですが、
「１〜１６の数を、４個づつ、四組に分けたとき、どの組のそれぞれの和も４の倍数となる
分け方は、何通りあるか。」

解答

・わたしの…

1~9のときは…

(1,4,7)・・・1

(2,5,8)・・・2

(3,6,9)・・・0

so…

3≡1+1+1≡2+2+2≡0+0+0≡1+2+0

so…

1+3^3*2^3/3!=37通り なのね ^^

(1,5,9,13)・・・1

(2,6,10,14)・・・2

(3,7,11,15)・・・3

(4,8,12,16)・・・0

so…

4≡1+1+1+1≡2+2+2+2≡3+3+3+3≡0+0+0+0・・・1

  ≡0+0+2+2≡1+1+3+3・・・2*(4*4*3*3)=288

  ≡0+0+1+3≡1+1+2+0≡2+2+1+3≡3+3+2+0・・・ここがややこしい…^^;

・らすかる様のもの Orz〜

4で割った余り4つの合計が4の倍数になる組合せは
0,0,0,0
0,0,1,3
0,0,2,2
0,1,1,2
0,2,3,3
1,1,1,1
1,1,3,3
1,2,2,3
2,2,2,2
3,3,3,3
の10通り
これからあり得る分け方とそれぞれの場合の数を計算すると
(0000)(1111)(2222)(3333)：1
(0000)(1133)(1133)(2222)：(4C2)^2÷2=18
(0000)(1133)(1223)(1223)：(4P2)^2×4C2÷2=432
(0013)(0013)(1133)(2222)：(4P2)^2×4C2÷2=432
(0013)(0013)(1223)(1223)：(4C2)^2×4!^2÷2^2=5184
(0013)(0022)(1133)(1223)：(4P2)^2×(4C2)^2=5184
(0013)(0112)(0233)(1223)：(4P2)^4=20736
(0022)(0022)(1111)(3333)：(4C2)^2÷2=18
(0022)(0022)(1133)(1133)：(4C2)^4÷2^2=324
(0022)(0112)(0112)(3333)：(4P2)^2×4C2÷2=432
(0022)(0112)(0233)(1133)：(4P2)^2×(4C2)^2=5184
(0022)(0233)(0233)(1111)：(4P2)^2×4C2÷2=432
(0112)(0112)(0233)(0233)：(4C2)^2×4!^2÷2^2=5184
計 43561通り

 

*計算の仕方がよく分からなかったり…^^;…

4になった途端に難しくなるものね…

1,37,43561,の数列を調べてみた…けど…載ってないのねぇ…^^;

14306：証明...0,１だけでできる数で任意のnの倍数が存在する...

問題14306(友人問)

任意の自然数nに対して次のことを証明せよ。

　　

「10進表記で0と1のみからなる、0でないnの倍数が存在する。」

解答

・わたしの…

2,5は明らか…

3は111

けっきょく…

奇素数のときで言えればいい…

たとえば…

n=7

10^6≡1　mod 7

999999/9=111111　は７の倍数

1111110でもいいし…

10^(p-1)≡1　mod p

で同じことが言える…

n=13*17

でも…

奇素数の循環節同士の公倍数の循環節だけの1の個数は倍数になる…

1/13の循環節=6, 1/17の循環節=16…公倍数48

1/(13*17)=0.004524886877828054298642533936651583710407239819004524886…

循環節48 なので…1が48個で...

((10^49-1)/9)/(13*17)は割り切れるはず…

(循環)小数になれば,同じ原理で言えますね ^^

・友人から届いたもの…

*相加相乗☆

後半は当たり前ですわね ^^