アットランダム≒ブリコラージュ

14135：体積一定の円錐の側面積が最小であるときの母線の長さと底面の半径の比は？

問題14135・・・https://ameblo.jp/jukensuugaku/theme3-10018402155.html#main より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

半径:r

母線:R

側面積=2πR/(2πr)*R^2*π=π*R^3/r

(R^3/r)'=3R^2/r-R^3/r^2=R^2*(3r-R)/r^2=0

r<R/3で傾き負、R/3<rで傾き正

so…

r=3Rのとき、最小値

R/r=3

^^

↑

大ウソ ^^; Orz…

・上記サイトより Orz〜

*意外に難問…^^;

球の半径1が母線の長さ1と考えると…

球の表面積=4π

球の体積=(4/3)π

この1/12のときの円錐とすると...

体積(1/9)π=π*r^2/3

r=1/√3

つまり…半径1の球の表面積の1/12の円錐のときなのねぇ ^^

Kissing number と関係あるんだろうか知らん...

14134：最大角…A(0,1),B(0,2),P(x,x) のときの Max(角APB)=?...

問題14134・・・https://ameblo.jp/jukensuugaku/theme-10018402117.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

tan(角APB)

=tan(α+β)

=((2-x)/x+(x-1)/x)/(1-(2-x)(x-1)/x^2)

=x/(2x^2-3x+2)

=1/(2(x+1/x)-3)

これのMaxは|2(x+1/x)^3|の最小値…

x>0

x+1/x<=2…

so…2*2-3=1 が最小値…

so…

tan(角APB)=1

so…

角APB=45°

もっと図形的にいえないのか知らん…?

・鍵コメY様からのスマートな解法 Orz〜

図形的には、
△ABPの外接円を考えれば、∠APBは弧ABの円周角なので、
弧ABの中心角が最大であればいい。
そのためには、外接円がなるべく小さければよいので、
A，Bを通り、 y＝x に接する円が外接円であればよいことになります。 

*なるほどでっす♪

お気に入りぃ〜^^☆