アットランダム≒ブリコラージュ

14142：旧跡…直角三角形２個...

問題14142・・・CryingDorphine様のサイト http://cdcdcd.sansu.org/pika/J.htm より 引用 Orz〜

図は、２つの直角三角形ＡＢＣとＤＢＥを並べたものです。
Ｄ・Ｂ・Ｃは一直線で、ＡＣ＝１９cm、ＤＥ＝６cm、角ＢＡＣ＝角ＢＤＥとなっています。また、ＡとＤを直線で結んだところ、角ＤＡＣ＝４５度となったそうです。

では、三角形ＡＤＥの面積は何cm²でしょうか？

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

14141：嗅覚...□の対角線と辺のなす角度…^^;

この頃ってかわいいじゃん ^^

問題14141・・・浮浪様のサイト「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問です…

さっぱりのサァ〜ヤ ^^;

14140：1〜27を3個ずつ９組に分けて、各組の数の和をすべて等しくする組み合わせの数は？...

問題14140・・・出会いの泉より http://6626.teacup.com/shochandas/bbs? (ITさんからの紹介問) Orz〜

1から27までのすべての整数を３個ずつ９組にうまく分けると
各組の数の和をすべて等しくできます。

たとえば
1+14+27＝42, 2+15+25＝42, 3+13+26＝42
4+17+21＝42, 5+18+19＝42, 6+16+20＝42
7+11+24＝42, 8+12+22＝42, 9+10+23＝42

条件をみたす分け方の数は？

（数学セミナー９月号　エレガントな解答を求む（9月8日締め切り）関係）

解答

・わたしの…

上3行の候補は…以下の2種類...

1+(14)+27, 2+(15)+25, 3+(13)+26・・・(1)

2+(13)+27, 3+(14)+25, 1+(15)+26・・・(2)

so…

それぞれから、以下の計算をすれば、すべて異なる数字が出て来る…

1+1-2

2+2-4

3+3-6

4+4-8

5+5-10

6+6-12

so…

2*6=12通りかなぁ…?

↑

これは嘘ですね…^^; 

同じ数字がいっぱい出て来ちゃうわ…Orz...

14139：極限値…基本 ^^

問題14139・・・https://ameblo.jp/jukensuugaku/theme8-10018402149.html#main より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

これは簡単ね ^^

(1)

0<x

lim(x-1)/x<lim([x]+1)/x<=lim(x+1)/x

挟み撃ちから…与式=1

(2)

lim(2x-1)^2/x^2<lim[2x]^2/(x[x})<lim(2x)^2/(x(x-1))

挟み撃ちから…与式=4

14138：余弦が等差数列の3辺が32,35,xである△...

問題14138・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/37991120.html#37991120 より Orz〜

　３辺が 32，35，x の三角形があり、３つの角の余弦(cos)が等差数列をなすとき x＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38004096.html#38004096 より Orz〜

　正三角形以外で３つの角の余弦(cos)が等差数列をなすのは、不等辺三角形ですので、

　３辺を短い方から a，b，c とし、その対角を A，B，C とすれば、

　a＜b＜c より A＜B＜C 、cosA＞cosB＞cosC になり、cosA＋cosC＝2cosB 、

　(b²＋c²−a²)/(2bc)＋(a²＋b²−c²)/(2ab)＝(a²＋c²−b²)/(2ac) 、 

　a(b²＋c²−a²)＋c(a²＋b²−c²)＝2b(a²＋c²−b²) 、

　ac(a＋c)＋b²(a＋c)−(a＋c)³＋3ac(a＋c)＝2b｛(a＋c)²−2ac−b²｝ 、

　4ac(a＋c)＋4acb＝(a＋c)³−(a＋c)b²＋2(a＋c)²b−2b³ 、

　4ac(a＋c＋b)＝(a＋c)(a＋c＋b)(a＋c−b)＋2b(a＋c＋b)(a＋c−b) 、

　4ac＝(a＋c)(a＋c−b)＋2b(a＋c−b) 、4ac＝(a＋c)²＋b(a＋c)−2b² 、

　b(2b−a−c)＝(c−a)² です。

　b＝32，c＝35 のとき、32(29−a)＝(35−a)² 、a²−38a＋297＝0 、(a−11)(a−27)＝0 、

　 35−32＜a＜32 より、a＝11，27 になり、

　a＝32，c＝35 のとき、b(2b−67)＝3² 、2b²−67b−9＝0 、

　 32＜b＜35 より、b＝(67＋√4561)/4 になり、

　a＝32，b＝35 のとき、35(38−c)＝(c−32)² 、c²−29c−306＝0 、

　 35＜c＜32＋35 より、c＝(29＋√2065)/2 になります。

　従って、x＝11，27，(67＋√4561)/4，(29＋√2065)/2 です。


[参考]

　11，32，35 や 27，32，35 のような整数比になるものを求めてみます。

　b(2b−a−c)＝(c−a)² より、

　2b＞a＋c で、b，2b−a−c の最大公約数を G とすれば、

　b＝k²G，2b−a−c＝n²G と表せ、c−a＝knG 、また、a＋c＝2b−n²G＝2k²G−n²G 、

　2c＝2k²G＋knG−n²G ，2a＝2k²G−knG−n²G になり、

　a：b：c＝2a：2b：2c＝(2k²−kn−n²)：2k²：(2k²＋kn−n²) です。

　ここで、a＋b＞c より、4k²−kn−n²＞2k²＋kn−n² 、2k²＞2kn 、k＞n です。

　k＝(m＋n) として書き換えれば、

　(2k²−kn−n²)：2k²：(2k²＋kn−n²)

　 ＝｛2(m＋n)²−(m＋n)n−n²｝：2(m＋n)²：｛2(m＋n)²＋(m＋n)n−n²｝

　 ＝m(2m＋3n)：2(m＋n)²：(2m²＋5mn＋2n²)

　本問は (m，n)＝(1，3)，(3，1) として作問しました。

*これは…プリミティブに…^^;

場合分けで…
(1)32<35<x
35(m+k)+x*m=32,
32(m+k)+x(m-k)=35,
35(m-k)+32*m=x
x=(29+√2065)/2=37.22…

(2)32<x<35
x*(m-k)+32*m=35,
35*(m-k)+32(m+k)=x,
35*m+x(m+k)=32
x=(67+√4561)/4=33.63…

(3)x<32<35
x(m+k)+35(m-k)=32,
32(m-k)+x*m=35,
35*m+32(m+k)=x
x=11 or 27