アットランダム≒ブリコラージュ

15168：旧跡...あるフォルムの六角形内の△...

初詣♪

神様そっちのけのどんぐり拾いなり...^^

問題15168・・・http://sansu-seijin.jp/?p=8637 より 引用 Orz〜

解答

デジャヴー？

・わたしの...

360-3*60-45=135°

tan(a+b)=(2+tanb)/(1-2*tanb)=-1

tanb=3=sinb/cosb

(sinb)^2+(sinb/3)^2=1

(sinb)^2=9/10

so...

緑=2√2*2√5*(3/√10)/2=6 cm^2

算数じゃどうするんだろ...^^;

見事な解法は上記サイトへ Go〜♪

15167：旧跡...長方形内の□...

お出かけでっす ^^

問題15167・・・http://sansu-seijin.jp/?p=8633 より 引用 Orz〜

解答

ヒントなきゃ気づけなかったわ...^^;

ヒントは上記サイトへ Go〜♪

15166：空間分割...

問題15166・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38217876.html#38217876 より Orz〜

　図のように、平面をｎ本の直線で分割すると最大^※1 (n²＋n＋2)/2 個の領域に分かれます。

　同様に、空間をｎ枚の平面で分割すると最大^※2 a_n 個の領域に分かれるものとして、

　a_n≧1000 を満たす最小の自然数ｎは？　また、そのｎについて、a_n＝？

　 ※1 …… どの２直線も１点で交わり、その点を通る直線が他にない場合です。

　 ※2 …… どの３平面も１点で交わり、その点を通る平面が他にない場合です。

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38229806.html より Orz〜

　ｋ枚の平面で 空間が a_k 個の領域に分かれている状態で、※2の条件で平面を１枚増やせば、

　もとのｋ枚の平面との交線ｋ本が※1の条件で 増やした平面上に存在します。

　従って、増やした平面は (k²＋k＋2)/2 個の領域に分かれ、

　領域のそれぞれが 空間の１つの領域を２つに分割しますので、(k²＋k＋2)/2 個増えます。

　つまり、a_k+1−a_k＝(k²＋k＋2)/2 です。

　a_k+1−a_k＝k(k＋1)(k＋2)/6−(k−1)k(k＋1)/6＋1 、

　k＝1，2，3，……，n−1 として加えると、 a_n−a₁＝(n−1)n(n＋1)/6−0＋(n−1) 、

　a₁＝2 だから、a_n＝(n−1)n(n＋1)/6＋(n＋1)＝(n²−n＋6)(n＋1)/6 です。

　n³/6≒1000 とすれば n≒18 ですので、

　a₁₈＝(18²−18＋6)(18＋1)/6＝312･19/6＝988 、

　a₁₉＝(19²−19＋6)(19＋1)/6＝348･20/6＝1160 を求めれば、

　n＝19 ，a₁₉＝1160 です。


[参考]

　平面をｎ本の直線で分割すると最大 (n²＋n＋2)/2 個の領域に分かれる理由は、

　直線が０本のときの分割の数が１で、

　ｎ本目の直線を描いたときに、それまでの直線と n−1 点で交わり、

　ｎ本目の直線は 半直線と線分合わせてｎ本に分かれ、

　それが、ｎ本目の直線を描いたときに増える分割の数ですので、

　1＋交点の数＋直線の数 が分割の数で、1＋_nＣ₂＋n だからです。

　同様に、空間をｎ枚の平面で分割するときの最大の領域の数は、

　平面が０枚のときの分割の数が１で、

　ｎ枚目の平面を描いたときに、 (n²＋n＋2)/2 個、

　すなわち 平面の数＋交点の数＋直線の数 の領域が増えますので、

　1＋交点の数＋交線の数＋平面の数 が分割の数で、

　1＋_nＣ₃＋_nＣ₂＋n です。

*わたしゃ...アナロジーで...^^;

a(n)=nC3+nC2+nC1+1
=n(n-1)(n-2)/6+(n^2+n+2)/2
=(n^3+5n+6)/6
a(18)=988
a(19)=1160