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解答
・わたしの...
1辺でできる△を決めて考える...
f(3)=1
f(4)=2*f(3)=2
f(5)=2*f(4)+1*(f(3))^2=2*2+1*1^2=5
f(6)=2*f(5)+2*f(4)*f(3)=2*(5+2)=14
f(7)=2*f(6)+2*f(5)*f(3)+(f(4))^2=2*(14+5)+2^2=42
かなぁ...^^;
たしか...カタラン数のはず...
so...合ってるようね ^^
↑
間違ってましたわ ^^;
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
「得られた三角形がもとの正七角形と少なくとも1辺を共有」…[*]
という条件が考慮されていないようです． 実際，カタラン数となるのはこの条件がない場合であり， n=5までは条件は必ず成立するので正しい結果を与えますが， n≧6では正しくありません． 例えばn=6のとき，もとの正六角形と2辺を共有する三角形が2つできますが， その位置関係は， [i] 2つが1頂点を共有する [ii] 2つは共有点をもたない のいずれかであり， 2つの三角形の決め方は，[i]のとき6通り，[ii]のとき3通りです． [i]のときは，[*]が成り立つためには 残った四角形を共有1頂点を通る対角線で分割するしかなく，1通り． [ii]のときは，残った四角形をどちらの対角線で分割してもよく，2通り． 結局，6*1+3*2=12(通り)となります． n角形(n≧4)に一般化して，次のようにできます．
三角形はn-2個できるから，もとの正n角形と2辺を共有する三角形は2つです． [1] まず，2辺を共有する三角形を1つ決める対角線を引く．(n通り) [2] 次に，[1]の対角線を1辺にもつ三角形を決める対角線を引く．(2通り) [3] 次に，[2]の対角線を1辺にもつ三角形を決める対角線を引く．(2通り) 以下同様に進め，最後に， [n-3] [n-4]の対角線を1辺にもつ三角形を決める対角線を引く．(2通り) で分割はできあがります． この分割手順は全部でn*(2^(n-4))通りありますが， 同じ分割が，[1]の引き方2通りに対応するので， 結論は(n*(2^(n-4)))/2=n*(2^(n-5))(通り)となります． n=7であれば，7*4=28(通り)ですね． *たとえば...正六角形の場合...
1辺が含まれる場合はこれですべてなので...
f(6)=2*(f(5)+f(3)*f(4))=2*(5+2*1)=14 のように...^^
↑
・鍵コメT様からのご指摘 Orz〜
正六角形の場合の上図については，残りはf(5)ではありません．
上の辺の右頂点をAとし，そこから反時計回りにB,C,D,E,Fとして， 辺ABを含む三角形が△ABCであったとき， 残り部分である五角形ACDEFの分割を「EAとEC」としたとき，△ACEは， 五角形ACDEFとは辺を共有しますが元の六角形とは共有せず不適です． *たしかにこの黄色の△が条件を満たしてなかったです...^^;...
つまり，この考え方からは， f(6)=2*(f(5)-1)+2*f(4)*f(3)=2*4+2*2*1=12 であれば正しい式となるわけですが， 式に使うものがf(5)そのものではダメなわけで， 次のf(7)を求めるときにどれだけ調整するかはかなり難しくなります． 仮にf(8),f(9),…を考えようとすれば，さらにハードルが上がります． *納得ぅ〜^^;☆
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コメント（2）
