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アットランダム≒ブリコラージュ

「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」(長寿の心得...岸信介) /「食う、寝る、出す、風呂」(在宅生活4つの柱)

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2018年01月26日

2018年1月25日 | 2018年1月27日

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p,q,rは正の実数,(ｐ＋ｑ＋ｒ)/３>=(ｐｑｒ)^(1/3)...面白い証明☆

画像：https://store.shopping.yahoo.co.jp/kana7/505380.html?sc_i=shp_pc_search_itemlist_shsr_img#&gid=itemImage&pid=1 より引用 Orz～

池田満寿夫「夢のバイオリン」

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/factorization.htm より引用 Orz～

p,q,rは正の実数のとき、

(ｐ＋ｑ＋ｒ)/３>=(ｐｑｒ)^(1/3)

を示せ。

相加相乗平均そのものだけど...

p^(1/3)=x, q^(1/3)=y, r^(1-3)=z

x^3+y^3+z^3-3xyz

=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

=(1/2)(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2) >=0

ってな恒等式からでも言えるのねぇ☆

考えたこともなかった...^^;v

15322：三元連立方程式...ｘ＋ｙ＋ｚ=３ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2=３ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3=３...

問題15322・・・http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/factorization.htm より引用 Orz～

次の連立方程式を解け。

ｘ＋ｙ＋ｚ＝３

ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝３

ｘ³＋ｙ³＋ｚ³＝３

(1973 全米数学オリンピック)

解答

・上記サイトより Orz～

「ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝｛（ｘ＋ｙ＋ｚ）²－（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²）｝/２＝３

ｘｙｚ＝｛（ｘ³＋ｙ³＋ｚ³）－（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ）｝/３＝１

より、　３つの数　ｘ、ｙ、ｚ　は３次方程式　ｔ³－３ｔ²＋３ｔ－１＝０　の解である。

よって、　（ｔ－１）³＝０　より、　ｔ＝１　すなわち、　ｘ＝ｙ＝ｚ＝１　である。」

*美しあるね♪

・友人からのなるほど !! なもの...☆

ｘ＋ｙ＋ｚ＝３　　　　(1)

ｘ²＋ｙ²＋ｚ²＝３　　　(2)

ｘ³＋ｙ³＋ｚ³＝３　　　(3)

(x,y,z)=(1,1,1)　は明らかに解の1つ

原点と平面(1)の距離は|-3|/√(1^2+1^2+1^2)=√3

よって(1)は球(2)に接している

よって(1)(2)より解があれば1つ

これは(3)を満たすから解は(1,1,1)　(重解)

15321：cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=?...

画像：http://www.yamada-shoten.com/onlinestore/detail.php?item_id=44732 より引用 Orz～

池田満寿夫「二羽の鳥」

*多分...隠喩なんだろうけど...

解読できず...^^;

問題15321・・・出会いの泉より http://6626.teacup.com/shochandas/bbs? ようすけ様提示問 Orz～

等式 x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) について、

次の問いに答えよ。

(1)上の等式が成り立つか確かめよ。
(2)cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)の値はいくらか。

解答

・わたしの...

(1)

x=y=z=0

x=y=1,z=0

x=y=-1,z=0

x=y=z=1

で成り立つので...恒等式あるね ^^

(2)

x^7-1=0

の解の実数部は...

cos(k*2π/7)...k=0～6

すべての解の和=0

また、

cos(2π/7)=cos(-2π/7)=cos(6*2π/7)

cos(4π/7)=cos(-4π/7)=cos(5*2π/7)

cos(6π/7)=cos(-6π/7)=cos(4*2π/7)

Σcos(k*2π/7)=1

so...

与式={0-cos(0*2π/7)}/2=-1/2

*but...提示されてる恒等式との関係よくわからず...^^;

*so...

-1/2 になる組み合わせは...2^3通りありますね ^^

ちなみに...

最初の恒等式のエレガントな求め方は...

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/factorization.htm より引用 Orz～

「GAI様のもの Orz～

ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ　、ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝ｂ　、ｘｙｚ＝ｃ　とおくと、３つの数ｘ、ｙ、ｚは、

３次方程式　Ｔ³－ａＴ²＋ｂＴ－ｃ＝０　の解である。

これから、　　　

ｘ³－ａｘ²＋ｂｘ－ｃ＝０
ｙ³－ａｙ²＋ｂｙ－ｃ＝０
ｚ³－ａｚ²＋ｂｚ－ｃ＝０

これらの和をとって、

ｘ³＋ｙ³＋ｚ³－ａ（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²）＋ｂ（ｘ＋ｙ＋ｚ）－３ｃ＝０
ｘ³＋ｙ³＋ｚ³－ａ（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－ｂ）－３ｃ＝０
ｘ³＋ｙ³＋ｚ³－３ｃ＝ａ（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－ｂ）

よって、

ｘ³＋ｙ³＋ｚ³－３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ²＋ｙ²＋ｚ²－ｘｙ－ｙｚ－ｚｘ）」

*惚れ惚れしますねぇ♪

*やはり...最初の式を使っての求値問題として考えられるのですね☆

↓

・上記サイトより...らすかる様のもの Orz～

かなり遠回りしているような気がしますが、
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) を使って
式をこねくり回したらたまたま出ました。

x=cos(2π/7), y=cos(4π/7), z=cos(6π/7), k=x+y+z とおく。
倍角（半角）の公式から
x^2={1+cos(4π/7)}/2
y^2={1+cos(8π/7)}/2={1+cos(6π/7)}/2
z^2={1+cos(12π/7)}/2={1+cos(2π/7)}/2
なのでx^2+y^2+z^2={cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)+3}/2=(k+3)/2
三倍角の公式から
x^3={3cos(2π/7)+cos(6π/7)}/4
y^3={3cos(4π/7)+cos(12π/7)}/4={3cos(4π/7)+cos(2π/7)}/4
z^3={3cos(6π/7)+cos(18π/7)}/4={3cos(6π/7)+cos(4π/7)}/4
なのでx^3+y^3+z^3={4cos(2π/7)+4cos(4π/7)+4cos(6π/7)}/4=k
また
x^2+y^2+z^2=(k+3)/2, (x+y+z)^2=k^2 から
xy+yz+zx={k^2-(k+3)/2}/2=(2k-3)(k+1)/4
積和公式から
xy={cos(6π/7)+cos(2π/7)}/2=(z+x)/2
xyz=z(z+x)/2=(z^2+zx)/2={(1+x)/2+(y+z)/2}/2=(1+x+y+z)/4=(1+k)/4 … (1)
これらをx^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)に代入すると
k-3(1+k)/4=k{(k+3)/2-(2k-3)(k+1)/4}
整理して
(k-3)(k+1)(2k+1)=0
x＜1,y＜1,z＜1なのでk-3≠0
また(1)からk+1≠0
従って2k+1=0なので、k=-1/2

# (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) に
# x+y+z=k, x^2+y^2+z^2=(k+3)/2, xy+yz+zx=k（和積の公式から導出）
# を代入した方が簡単に出ますね。

*色々考えられるものねぇ ^^;☆