15516：0<=x<x+y<y+z<=nを満たす整数の組(x,y,z)の個数は？

問題15516(友人問)

2以上の自然数nに対して、

0<=x<x+y<y+z<=n

を満たす整数の組(x,y,z)　の総数を求めよ。

解答

・わたしの...

x,y,z

3Hn-2Hn

=(n+2)C2-(n+1)C1

=(n+2)(n+1)/2-(n+1)

=n(n+1)/2

でよさそうに思える今のわたしの頭...^^;

ワインはすぐ回ってしまいますぅ〜...Orz...

↑

嘘でしたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(解1)
不等式が主張しているのはx≧0，y≧1，z>x，y+z≦nです．
自然数y,zがy+z≦nを満たし，xはzより小さい負でない整数となればよく，
z=1,2,…,n-1 に対してyがn-z通り，xがz通りあるから，求める数は
Σ[z=1..n-1](n-z)z=n*n(n-1)/2-n(n-1)(2n-1)/6
=n(n-1)/6*(3n-(2n-1))=n(n-1)(n+1)/6となります．

(解2)
x,x+y,y+zが定まれば，x,y,zは定まります．
また，「x,x+y,y+zがすべて整数」と「x,y,zがすべて整数」は同値です．
x,x+y,y+zとして0以上n以下の整数を3つ選べばよいので，
求める数は，(n+1)C3=(n+1)n(n-1)/6となります．

*なるほど!! 

[解2]お気に入りぃ〜♪

わたしゃ何を考えてたんだろ...^^;;

・友人から届いたもの...^^

*まさに、別解が鍵コメT様の解法と同じでしたわ☆