アットランダム≒ブリコラージュ

15177：4倍して一の位を四捨五入=一の位で四捨五入して４倍となる7の倍数の一の位は？...クイズ ^^

問題15177・・・https://twitter.com/sansu_seijin/status/946985681334628352 より 引用 Orz〜

一の位の数字がAである7の倍数があります。この7の倍数を，4倍して一の位で四捨五入した数と，一の位で四捨五入して4倍した数が等しくなります。このとき，Aにあてはまる数をすべて答なさい。

解答

・わたしの...

四捨五入したら...下一桁は0

7の倍数...

0,7,4,1,8,5,2,9,6,3

4倍

0,28,16,4,32,20,8,36,24,12

四捨五入

0,30,20,0,30,20,10,40,20,10

一の位で四捨五入...

0,10,0,0,10,10,0,10,10,0

4倍

0,40,0,0,40,40,0,40,40,0

so...

あるなら...

A=0,1 or 9

ね ^^

↑

赤字で訂正 Orz...(飛ばしてましたわ...^^;)

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

例えば，21は4倍して84，四捨五入して80であり，
四捨五入して4倍したものと一致します．

四捨五入により，値は0〜5だけ変化します．
よって，四捨五入の4倍と4倍の四捨五入が一致するには，
四捨五入の4倍が，元の数の4倍と，5までしか差がないことが必要であり，
「元の数を四捨五入して，値変化が1までであること」…[*]が必要です．
一方，四捨五入の4倍と4倍の四捨五入はともに一の位は0なので，
[*]であれば，四捨五入の4倍と4倍の四捨五入は一致します．
以上より，Aは9,0,1となります．
「7の倍数」という条件は，結論には影響を与えませんね．

*7の倍数なら、下一桁が0〜9のすべてが現れるという意味でしょうね ^^

15176：1,2,3,4を□に入れた,□□÷□□>1 になるのは何通り？...パズル ^^

問題15176・・・https://twitter.com/sansu_seijin/status/947061196661784577 より 引用 Orz〜

1,2,3,4の4枚のカードを並べて□□÷□□の計算式を作ります。この答えが1より大きくなるような並べ方は何通りありますか。

解答

・わたしの...

大きいか小さいかだけなので...

4!/2=12通り

ね ^^

15175：アラカルト...^^

問題15175・・・https://twitter.com/sansu_seijin?ref_src=twsrc%5Etfw&ref_url=http%3A%2F%2Fsansu-seijin.jp%2F%3Fp%3D8668 より 引用 Orz〜

(1)

131，2002のように，左右対称の整数を回文数といいます。5けたの回文数は全部で何個ありますか。

(2)

1〜30までの整数で，約数の個数が4個の数は何個ありますか。

(3)

A，B，C，D，Eの5人が横一列に並びます。AがBよりも左側に並ぶような並び方は何通りありますか。

解答

・わたしの...

(1)

xy@yx

xが9通り

y,zが10通り

so...

9*10^2=900通り

ね ^^

(2)

2^3,3^3

2*3,2*5,2*7,2*11,2*13

3*5,3*7

の9個ね ^^

(3)

右か左かの２通りに分かれるので...

5!/2=60通り

ね ^^

15174：1〜199までの奇数の積の下3桁は？...クイズ ^^

問題15174・・・https://twitter.com/sansu_seijin/status/947816164763119616 より 引用 Orz〜

1から199までの奇数の積1×3×5×7×9×‥×197×199の下3けたの数はいくつですか。

解答

・わたしの...

3,5,7,9が20回...

3*5*7*9=945

945^2≡025

25^2≡625

625^2≡625

so..

((3*5*7*9)^8)^2*(3*5*7*9)^4

≡625*625

≡625 (mod 1000)

以下の計算でチェック...

200!/(2^100*100!)

=

♪

↑

嘘でした...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

このやり方ではマズいと思います．
例えば1*3*5*7*9*11*13*15*17*19の下3桁は「075」であり，
945^2の下3桁「025」とは異なります．

*確かに...そうなりますわね...^^;

正の奇数aに対し，a以下の正の奇数すべての積をa!!と表します．
また，(10a+1)(10a+3)(10a+7)(10a+9)をf(a)と書くことにします．
f(a)=10000a^4+20000a^3+13000a^2+3000a+189なので，f(a)の下3桁は189です．

199!!=f(0)*f(1)*f(2)*…*f(19)*(5^20)*39!!
=f(0)*f(1)*f(2)*…*f(19)*(5^20)*f(0)*f(1)*f(2)*f(3)*(5^4)*7!!
≡(189^20)*(5^20)*(189^4)*(5^4)*1*3*5*7 (mod 1000).
(189^24)*1*3*5*7*(5^24)の下3桁を求めればよい．
5^3の(189^24)*1*3*5*7*(5^21)倍であり，
(189^24)*1*3*5*7*(5^21)を8で割った余りによって，下3桁は定まる．
(189^24)*1*3*5*7*(5^21)≡(5^24)*1*3*5*7*(5^21)≡(5^46)*3*7
≡(25^23)*21≡(1^23)*5≡5 (mod 8)
だから，求める下3桁は625．

*お願いして、も少し噛み砕いていただきました グラッチェ ^^v

式を短くするために関数fを導入しましたが，要するに
199!!=(1*3*7*9)*(11*13*17*19)*…*(191*193*197*199)*(5*15*25*…*195)
であり，5*15*25*…*195=(5*1)*(5*3)*(5*5)*…*(5*39)=(5^20)*39!!
ということです．同様に，
39!!=(1*3*7*9)*(11*13*17*19)*(21*23*27*29)*(31*33*37*39)*(5*15*25*35)
=(1*3*7*9)*(11*13*17*19)*(21*23*27*29)*(31*33*37*39)*(5^4)*1*3*5*7
ですね．

1*3*7*9や11*13*17*19は下3桁が189だから，
199!!≡(189^20)*(5^20)*(189^4)*(5^4)*1*3*5*7となることがわかります．

*5の倍数を取り出すのが...後半の推理に上手く使えるわけなのねぇ☆

but...思いつけないわ ^^;;

・鍵コメT様からの解説 グラッチェ〜m(_ _)m〜♪

(10a+1)(10a+3)(10a+5)(10a+7)(10a+9)を展開すると，
100000a^5+250000a^4+230000a^3+95000a^2+16890a+945となり，
1000で割った余りはaの値によっていろいろな値となってしまいます．
(スモークマンさんの方法でうまくいかない理由はこれであるとも言えます．)
因子(10a+5)を除けば，1000で割った余りが一定となり，うまくいきます．
これが5の倍数を除く理由です．

この手法は，「階乗の0以外の末尾の数字」でも利用される手法で，
実際に問題11599や問題12120で使われています．

問題11599 https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=11599&sk=0

問題12120 https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=12120&sk=0

*今まで...よくわからず読み流してましたぁ ^^;;v

15173：嗅覚...二等辺三角形4個でできる△...パズル ^^

問題15173・・・https://twitter.com/sansu_seijin?ref_src=twsrc%5Etfw&ref_url=http%3A%2F%2Fsansu-seijin.jp%2F%3Fp%3D8668 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

4x=60

x=15°

ね ^^