アットランダム≒ブリコラージュ

15236：x,yは正整数, x^4+y^4 をx+yで割った商が97のときの余りは？ ^^;

問題15236・・・http://www.kyoto-be.ne.jp/koukyou/cms/?action=common_download_main&upload_id=1301 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

(x+y)^4/(x+y)=(x+y)^3>97...x+y>=5

(x+y)^3/(x+y)=(x+y)^2<97...x+y<=9・・・ここ怪しい ^^;

5...1+4,2+3

1+4^4=257...257/5<97

2^4+3^4=97

6...1+5,2+4,3+3

1+5^4=626...626/6>97

2^4+4^4=272...272/6<97

3^4+3^4=162

7...1+6,2+5,3+4

1+6^4=1297...1297/7>97

2^4+5^4=641

3^4+4^4=337

8...1+7,2+6,3+5,4+4

1+7^4=2402...2402/8>97

2^4+6^4=1312

3^4+5^4=706...706/8<97

4^4+4^4=512

9...1+8,2+7,3+6,4+5

1+8^4=4097...4097/9>97

2^4+7^4=2417

3^4+6^4=1377

4^4+5^4=881...881/9=97...8・・・ビンゴ ^^;v

↑

条件の絞り方がよくわかりませんでしたが...^^;

↓

・鍵コメT様からのなるほどの解答 Orz〜

(1)は，x,yの大きい方が比較的容易に決定できます．
条件より，97≦(x^4+y^4)/(x+y)<98. ・・・ここが肝でしたわ☆
x≧yとしてよい．
(x^4+y^4)/(x+y)≦(x^4+x^3y)/(x+y)=x^3,
(x^4+y^4)/(x+y)>x^4/(x+x)=(x^3)/2だから，
x^3≧97,(x^3)/2<98であり，97≦x^3<196となって，x=5に限る．

97≦(625+y^4)/(5+y)<98から，97(y+5)-625≦y^4<98(y+5)-625，
つまり97y-140≦y^4<98y-135.
y≦x=5にも注意して，y=4.

このとき，x^4+y^4=625+256=881であり，x+y=9で割った余りは8. 

(2)

a=xg

b=yg

xyg+g+g(x+y)=xyg^2

xy+1+x+y=xyg

gが奇数だと...

左辺は偶数になり矛盾

so...

g=2 or 4

(1)g=2...

xy-x-y-1

=x(y-1)-(y-1)-2=0

(x-1)(y-1)=2

so...

x=2, y=3

so...a=4,b=6

(2)g=4

3xy-x-y-1

=x(3y-1)-(1/3)(3y-1)-4/3=0

(3x-1)(3y-1)=4...なし

↑

ちょいいい加減でした...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2)で，4行目の左辺xy+1+x+y=(x+1)(y+1)について，xとyは互いに素より，
「x,yがともに偶数」ではないから必ず偶数となりますが，
x,yの一方が偶数であることはあり得るので，・・・確かにそうでした☆
gが奇数であっても右辺が偶数は可能であり，矛盾ではありません．
xyg=xy+1+x+y≦4xyからg≦4，・・・こういう評価ができるようになりたいものです ^^;☆

xyg=xy+1+x+y>xyよりg>1であり，
gとしてあり得るのはg=2,3,4です．
g=2のときは，x,yは2と3ですが，a≧bより，aとbは逆であり，(a,b)=(6,4).
g=4のときは，(3x-1)(3y-1)=4ですが，x=y=1は不適ではなく，(a,b)=(4,4).
g=3のときは，2xy-x-y-1=0から(2x-1)(2y-1)=3より，(x,y)=(2,1)となって，
(a,b)=(6,3).

まとめて，(a,b)=(4,4),(6,3),(6,4)ですね．

15235：a(n)=50+n^2,nがすべての正の整数を動くとき, a(n)とa(n+1)との最大公約数は？

問題15235・・・http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/jmo.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(50+(n+1)^2,50+n^2)

(n+1)^2-n^2=2n+1・・・これが最大公約数になればいい...

(50+n^2,2n+1)

100+2n^2-2n^2-n=100-n

これが...2n+1と等しければいい...

100-n=2n+1

99=3n

n=33

so...

2n+1=2*33+1=67

so...

Max{dn}=67 ね ^^

じっさいに...

50+34^2=1206=2*3^2*67

50+33^2=1139=17*67

↑

根本的な考え方が謝ってたのね ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

a,bの最大公約数をg(a,b)と表すことにします．
g(50+(n+1)^2,50+n^2)=g(50+n^2,2n+1) ((50+(n+1)^2)-(50+n^2)=2n+1より)
=g(4(50+n^2),2n+1) (2n+1は奇数より)
=g((2n+1)(2n-1)+201,2n+1)  ・・・こういう風に変形するのが肝なのね ^^;
=g(201,2n+1)≦201.
等号は，2n+1が201の倍数のとき，例えばn=100のとき成立します．
よって，求める最大値は201です．

実際，a[100]=10050=201*50,a[101]=10251=201*51,d[100]=201です．

15234：x^2+25x+52=3√(x^2+25x+80) のすべての実根の積...

問題15234・・・http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/jmo.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

10^1989<N<10^1990

9*1989=17901<N1<9*1990=17910

N2=18

N3=9

(2)

x^2+25x=X

X+52=3√(X+80)

(X+52)^2=9(X+80)

X^2+95X+1984=0

1984=4^3*31

so...

(x^2+25x+64)(x^2+25x+31)=0

x(x+25)=0

-(25/2)^2=-625/4<-64

so...

両方とも実根を持つので...

それら4根の積=64*31=1984

^^

↑

精緻性に欠けてました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1)
N1の範囲は「9≦N1≦9*1990」です．
例えばN=9*(10^1989)ならばN1=9ですし，N=10^1990-1ならばN1=9*1990ですね．
N1の上限は17910であり，例えばN1=9999かもしれず，9≦N2≦36です．
いずれにしても，N,N1,N2,N3はすべて9の倍数であり，N3=9は正しい結論です．

(2)
X+52=3√(X+80)から，(X+52)^2=9(X+80)かつX+52≧0です．
ということで，X=-64は解になりません．
既視感があり，探したところ，問題6775でした．

https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=6775&sk=0 参照

*なるほどでっす ^^♪

15233：4個の自然数の選び方...

問題15233・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38231889.html#38231889 より 引用 Orz〜

3以上 33以下の 31個の自然数のうち、積が 121の倍数になるように ４個を選ぶ方法をｎ通りとするとき、n＝？　また、４個の積ｎ個の平均は 121の何倍？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38243305.html より Orz〜

　11，22，33 のうちの３数または２数が含まれればよいので、４数の選び方ｎは、

　n＝₃Ｃ₂･₂₈Ｃ₂＋₃Ｃ₃･₂₈Ｃ₁＝3･28･27/2＋28＝1134＋28＝1162 です。 

　次に、

　3 から 33 までの 11，22，33 以外の和は、32･33/2−1−2−11−22＝528−36＝492 、

　3 から 33 までの 11，22，33 以外の平方の和は、32･33･65/6−1²−2²−11²−22²＝11440−610＝10830 、

　3 から 33 までの 11，22，33 以外の２数の積の総和は、(492²−10830)/2＝115617 です。

　従って、４数の積の総和は、

　11･22･33･492＋(11･22＋11･33＋22･33)･115617＝11³･6･492＋11²･(2＋3＋6)･115617

　 ＝11³･(2952＋115617)＝11³･118569 、

　４数の積の平均は、11³･118569/1162＝121･1304259/1161 、121 の 1304259/1161 倍です。

*後半の考え方おかしかったことがわかりやんした ^^;

ちなみに...

n
=3C2*28C2+3C3*28C1
=1134+28
=1162 

3〜33
(3+4+…+33)^2-(3^2+4^2+…+33^2)
36*18=648
(33*34*67-2*3*5)/6=12524

11*22
(648-11-12)^2-(12524-11^2-22^2)
=378706

11*33
(648-11-33)^2-(12524-11^2-33^2)
=353502

22*33
(648-22-33)^2-(12524-22^2-33^2)
=340698

(2*378706+3*352502+6*340698) =3859106
3859106/2=1929553

11*22*33
6*11*(648-11-22-33)=38412
so…
(1929553+38412)/1162
=1967965/1162 倍

*重複してましたわね ^^;

15232：8本の紐がつながっている確率...

画像：http://ug-underground.blogspot.jp/2012/08/m.html より 引用 Orz〜

http://m4s.cocolog-nifty.com/blog/2013/09/nhk49613924-edd.html より 引用 Orz〜

「アインシュタインの相対性理論は、数式の考察の過程で0次元の点の大きさしかないブラックホールの中心や宇宙の始まりには適応しないと分った。困難な解明はシュワルツとグリーンによって粘り強く続けられた。ある日、彼らが相対性理論と素粒子の数式を結びつけようと計算していると、重要な計算結果に突然、完全数496が現れた。完全数496は古代ギリシア人が天地創造の神の数字としてあがめていた神秘的な数字だ。この496が計算結果に現れたその時、実際に雷鳴が響き、そこに神の存在を実感したと彼らは話していた。その完全数496を数式に当てはめてみると相対性理論から素粒子の数式まで矛盾なく氷解して答えが現れ、超弦理論として神の数式に近づいた。超弦理論とは物理学の仮説の1つ。 物質の基本を小さな0次元の点粒子ではなく、超対称性を持つひものような一次元の弦と想定したもの。別名、超ひも理論と呼ばれている。天才たちが導き出した理論はどれも、常人の理解を遥かに超越している。50年前、テルアビブ大の天才物理学者ヤキール・アハラノフと量子力学の祖ボームが共に予言した「アハラノフ・ボーム効果」など、とてつもなく不思議な世界だ。それによると、時間は遠い未来の宇宙の終末から現在へ逆に流れて、今の宇宙を形作っているらしい。過去から未来へだけでなく、未来から現代へも時間が流れているとは、実にロマンチックだ。」

この世界は10次元らしい...^^

時間が未来から現在に流れてるって...?

空間も時間も...ビッグバンから始まったんじゃなかったっけ...?

問題15232・・・http://www.kyoto-be.ne.jp/koukyou/cms/?action=common_download_main&upload_id=1297 より 引用 Orz〜

解答

既出問のはず...^^

・わたしの...

繋がるわけだから...

8!/(8C2*6C2*4C2)^2

=40320/(2520)^2

=40320/6350400

=2/315

ね ^^

↑

嘘でした ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

上端をどう結んでも，確率には影響なし．
L1-L2,L3-L4,L5-L6,L7-L8と結ぶとして，以下は下端の結び方を考える．

L1はL2〜L8のどれも結ぶのも等確率で，L2と結ぶ場合のみ不適．
それ以外はどれと結んでも成功確率は同じである．L1-L8の場合を調べる．

L2はL3〜L7のどれと結ぶのも等確率で，L7と結ぶ場合のみ不適．
それ以外はどれと結んでも成功確率は同じである．L2-L3の場合を調べる．

L4はL5〜L7のどれと結ぶのも等確率で，L7と結ぶ場合のみ不適．
L5,L6のどちらと結んでも，後は自動的に成功する．

以上より，求める確率は，(6/7)*(4/5)*(2/3)=16/35ですね．

既視感があったのですが，私がコメントした事例は見つかりませんでした．
もしかしたら，問題6693(https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=6693&sk=0)あたりが頭に残っていたのかもしれません．

また，問題1027(https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/27888737.html)と同じことです．

*わかりやすいです ^^;☆