問題17402・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38693680.html#38693680 より 引用 Orz〜
AB＝AC である 二等辺三角形ABCに 等しい半径の２つの円を、どの円も２辺に接し、
円どうしが外接するように並べた２種類の図があります。
BCに接する２円と ABに接する２円の半径の比が 379：444 のとき、cos∠ABC＝？
解答
BCの中点を M とし、接点を図のように D，E，F，G とします。
また、BCに接する２円の半径を r ，ABに接する２円の半径を kr ，AD＝ar ，BD＝br とします。
三平方の定理より AB2＝AM2＋BM2 、(ar＋br)2＝(ar＋r)2＋(br＋r)2 、(a＋b)2＝(a＋1)2＋(b＋1)2 、
a2＋2ab＋b2＝a2＋2a＋1＋b2＋2b＋1 、ab＝a＋b＋1 、b(a−1)＝a＋1 で、
(b＋1)(a−1)＝b(a−1)＋a−1＝a＋1＋a−1＝2a 、1/(b＋1)＝(a−1)/(2a) です。
AB＝AF＋FG＋GB より、ar＋br＝kr(ar＋r)/(br＋r)＋2kr＋kr･br/r 、a＋b＝k(a＋1)/(b＋1)＋2k＋kb 、
a＋b＝k(a＋1)(a−1)/(2a)＋2k＋kb 、a(a−1)＋b(a−1)＝k(a＋1)(a−1)2/(2a)＋2k(a−1)＋kb(a−1) 、
a(a−1)＋a＋1＝k(a＋1)(a−1)2/(2a)＋2k(a−1)＋k(a＋1) 、a2＋1＝k(a＋1)(a−1)2/(2a)＋3ka−k 、
2a3＋2a＝ka3−ka2−ka＋k＋6ka2−2ka 、(2−k)a3−5ka2＋(2＋3k)a−k＝0 、
k＝444/379 だから、314a3/379−2220a2/379＋2090a/379−444/379＝0 、
157a3−1110a2＋1045a−222＝0 、(a−6)(157a2−168a＋37)＝0 、a＞1 だから a＝6 です。
また、b(a−1)＝a＋1 だから、5b＝7 、b＝7/5 です。
cos∠ABC＝BM/AB＝(br＋r)/(ar＋br)＝(5b＋5)/(5a＋5b)＝(7＋5)/(30＋7)＝12/37 です。
*同様に考えましたわ ^^v
∠ABC=2θ,379=r,444=Rと置く...
底辺の長さ/2
=r/tanθ+r
=R/tanθ+2R*cos2θ
r(1+tanθ)=R(1+2(2(cosθ)^2-1)*sinθ/cosθ)
r(cosθ+sinθ)=R(cosθ+(4(cosθ)^2-2)*sinθ)
cosθ=x,sinθ=y
379(x+y)=444(x+(4x^2-2)y)
x^2+y^2=1
0<x,0<y
をPCにおすがりすると...Orz
x=7/√74,y=5/√74
so...
cos∠ABC=cos2θ=2x^2-1=2*49/74-1=24/74=12/37
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