アットランダム≒ブリコラージュ

17349：あるフォルムの□の対角線...^^;

問題17349・・・http://task.naganoblog.jp/c56195_1.html より 引用 Orz〜

図の四角形で、辺BC、線分BDの長さを求めよ。
（ラ・サール高）

解答

・わたしの...

AC^2=7^2+4^2=1^2+BC^2

BC=64

so...

AC=√65

トレミーから、

BD*√65=1*4+7*8=60

so...

BD=60/√65=12√65/13

トレミー使わずに出せますかいねぇ...?

・鍵コメT様からのもの Orz〜

トレミーの定理を使う方が楽ですが，使わなくても何とかなります．

三平方の定理から，AC=√65，BC=8．
AC,BDの交点をPとして，
△APD∽△BPCから，AP:BP=AD:BC=7:8.
同様に，BP:CP=1:4，CP:DP=8:7であり，

・・・△APB∽△DPCでもあるから...BP:CP=1:4 でもあるわけね ^^☆ 

AP:BP:CP:DP=7:8:32:28であり，AC:BD=39:36=13:12.
したがって，BD=(12/13)AC=(12/13)√65.

*これを使ってのトレミーの定理の証明ができるはずと思うもすぐには気づけず...^^;...

17348：[n^(1/3)]がnの約数になる自然数nの小さい方から330番目の数は？

問題17348(アナロジー問)

　[n^(1/3)] が n の約数になる自然数 n を小さい順に並べてできる数列
　1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 27, 30,…… の 330番目の数は？

解答

・わたしの...

((n+1)^3-1-n^3)/n+1=3n+4

Σ[k=1〜n](3k+4)=3n(n+1)/2+4n=330

3n^2+11n=660

n=13

3*13*14/2+4*13=325

330-325=5

so...

14^3+4*14=2800

ね ^^

17347：n(n+1)(2n+1)は6の倍数...4通りの証明...^^;

朝起きられず...朝食抜きのまま就業...^^;

問題17347・・・出会いの泉より https://6626.teacup.com/shochandas/bbs? S(H)様紹介問 Orz〜

2*n^3 + 3*n^2 + n=n*(1 + n)*(1 + 2*n)
は必ず６の倍数となる事を証明せよ。
ただし、4 通り作って下さい。

解答

・わたしの...

(1)

n(n+1)(2n+1)

=n(n+1)((n-1)+(n+2))

=(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)

3連続数の積は2*3=6の倍数より、どちらの項も6の倍数

(2)

n(n+1)(2n+1)

n=3m...明らか

n=3m-1...明らか

n=3m+1...明らか

(3)

Σ[k=1〜n]k^2=n(n+1)(2n+1)/6=整数より明らか

くらいしか思いつけず...^^;

・鍵コメT様からのもの Orz〜

次のもよくある手法ですかね．

a[n]=n(n+1)(2n+1)として，
a[n+1]=(n+1)(n+2)(2n+3)であり，
a[n+1]-a[n]=(n+1)((2n+3)(n+2)-n(2n+1))=(n+1)(6n+6)は6の倍数．
a[0]=0は6の倍数だから，ここから6の倍数ずつ何度か増減したものは6の倍数．

*なるほどです ^^☆

17346：オセロ...クイズ ^^

腹減ってきたぁ〜...but...空腹に耐えれば、長寿遺伝子(サーチュイン遺伝子)が活性化されるし、内臓脂肪が燃やされて糖新生されてメタボにゃいいわけあるね...so...

朝食を楽しみになおみさんの「我慢」を大事にしましょっと ^^v

問題17346・・・http://task.naganoblog.jp/c56195_1.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

これは...

5!=120通りざんすね ^^

↑

間違ってたざんす ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

白5個をある順番で黒に変えていく場合だけを考えられたようですが，
●○●○●○●○●○●
→●○○○●○●○●○●
→●○○○○○●○●○●
→●○○○○○○○●○●
→●○○○○○○○○○●
→●●●●●●●●●●●
のようなものもあります．

石の色の変わり目が，最初は10箇所ありますが，
1回の操作ごとに，変わり目が2箇所ずつ減っていきます．
隣り合う2箇所の変わり目だけを消すことができ，
はじめは9通り，次は7通り，以下5通り，3通り，1通りの消し方が可能だから，
求める数は9*7*5*3*1=945(通り)です． 

*白ー白同士でも、黒ー黒同士でもよかったのでした ^^;...

上の図で...9*7*5*3*1になることがわかりやすいですね♪

17345：正十二面体を隣り合う色が同じにならないように4色使って塗り分ける方法は？

彼、ドナルドの恋人のデイジーも一緒にきてたわ ^^

問題17345(友人問)

正十二面体の全ての面を4色を使って塗り分ける方法は何通りあるか。

ただし辺を隔てて隣り合う面は異なる色で塗るものとし、回転により

一致する塗り方は同じものとみなす。

解答

・わたしの...

4色全て必要なことはわかる...

↑

抜けているようです ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

まず，「回転により一致する塗り方も区別する場合」(*)を数えてみます．
4色をA,B,C,Dとしましょう．

机に固定して置かれているものとし，机に接している面は4通りが可能．
それと隣接する5面は，B,C,Dの3色とも使うことになり，
どれか1色だけは1回しか使わず，残り2色は2回使います．
1回だけの色が3通り可能で(仮にDとして)，その色がどの面かが5通り．
残り4面は，Dの隣から時計回りに，BCBCまたはCBCBで2通り．
その上に位置する5面は，上面に塗れる色を残すために4色全部は使えず，
B[1]C[2]B[3]C[4]D[5](B)の場合について，
([1],[2],[3],[4],[5])=(D,A,D,B,A),(A,D,A,D,C)の2通りが可能．
どちらの場合も，上面に塗る色は1通りに定まる．

ということで，(*)の場合は4*3*5*2*2=240(通り)だと思います．
1つの塗り方に対して，置き方は，
机に接している面の決め方が12通り，水平に回転する仕方が5通り
より60通りなので，求める数は240/60=4(通り)ではないでしょうか．

*どの面から見ても、色の種類の個数の比率が等しく(12/4=3個ずつ)なるように考えればよかったのかなぁ...^^;...熟読玩味ぃ〜^^;v

・友人から届いたもの...

*考え方はわかったけど...

難しいわ ^^;...

・鍵コメT様からの追加説明 Orz〜

次の問題は有名問題です．
「立方体の6面をA,B,C,D,E,Fの6色で塗り分けるとき，何通りの塗り方があるか．
ただし，回転して一致する塗り方は同じ塗り方とみなす．」
これに対する解答方針は，大きく分けて2通りあります．

[解1]
Aの面を固定すると，その反対側に塗る色はB〜Fの5通り．
それがBであった場合，残りのC,D,E,Fの円順列を考えて3!=6(通り)．

Aの反対側が他の色であった場合も同様だから，求める数は，5*6=30(通り)．

[解2]
仮に，立方体の回転により一致する塗り方も別扱いにするとすれば，
塗り方は6!=720(通り)ある．

回転して一致する立方体を同じとみなすので，
この「720通り」は同じものを重複して数えている．
「何回重複して数えたか」は，特定の立方体の置き方の数で決まり，
それは，「底面」6通り，「水平に回転」4通りで，結局24通り．

以上より，求める数は，720/24=30(通り)．

慣れないと難しく感じやすいですが，実は[解2]は極めて有力な考え方です．
つまり，「回転して重なるものは同一視」については，
最後に「何回重複しているか」を考えるときにだけ気にすればよいわけです．

すでに提示した私の解答方針は，この[解2]と同じ考え方によるものです． 

*なるほどでっす☆

but...それがすぐ応用できるかどうかが別問題あるわけなのですねぇ...^^;