17542：底辺が同じ2個の直角三角形の綾なす線分比...

問題17542・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38704149.html#38704149 より Orz〜

　四角形ABCDがあって、対角線AC，BDの交点をPとします。

　∠CAD＝∠CBD＝90ﾟ ，169AB＝AC＝AD のとき、BP：BC＝？　また、BC：BD＝？　

　なお、図は不正確です。

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38713148.html より Orz〜

　四角形ABCDは CDを直径とする円に内接します。

　△PAB∽△PDC より、AP：DP＝AB：DC＝AB：AC√2＝AB：(169√2)AB＝1：169√2 なので、

　AP：AD＝1：√｛(169√2)²−1²｝＝1：√(2･169²−1)＝1：239 です。

　よって、AP：AD：DP＝1：239：169√2 になり、

　△PBC∽△PAD より、BP：BC：CP＝AP：AD：DP＝1：239：169√2 ですので、

　BC＝239BP ，CP＝(169√2)BP ，AD＝239AP ，DP＝(169√2)AP です。

　また、AD＝AC＝AP＋PC より、239AP＝AP＋(169√2)BP 、238AP＝(169√2)BP です。

　BC：BD＝BC：(BP＋PD)＝239BP：｛BP＋(169√2)AP｝＝238･239BP：｛238BP＋238･(169√2)AP｝

　 ＝238･239BP：｛238BP＋(169√2)²BP｝＝238･239：(238＋2･169²)

　 ＝238･239：(239＋2･169²−1)＝238･239：(239＋239²)＝238：(1＋239)＝119：120 です。

　まとめると、BP：BC＝1：239 ，BC：BD＝119：120 です。


☆ マチンの公式 4arctan(1/5)−arctan(1/239)＝π/4 から、

　4arctan(1/5)＝arctan(120/119)

　arctan(120/119)−arctan(1/239)＝π/4 、

　arctan(120/119)−π/4＝arctan(1/239) を使って作問しました。

*マチンの公式は有名だけど...全く気づけず...^^;

BD=x
x^2+1-√2*x=169^2
x=120√2
BC=y
y^2=2*169^2-2*120^2
y=119√2
so…
BC:BD=119:120
BP:PC=1:169√2
2*119^2+t^2=2*169^2*t^2
t=120√2/239
so…
BP=120√2/239
So…
BP:BC=119√2/239:119√2=1:239 

*4arctan(1/5)＝arctan(120/119) は...

マチンの公式の証明(https://ja.wikipedia.org/wiki/マチンの公式  より Orz〜) から...

よくこんなことが思いつけるものですねぇ ^^;...