アットランダム≒ブリコラージュ

17612：求長...半円内の□...クイズ ^^

問題17612・・・https://blog.goo.ne.jp/difkou/e/2679886e48851b2f3975fe551cbf4319 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

BD/2=√(13^2-5^2)=√144=12

so...

BD^2=12^2+(13/2)^2=144+169/4=745/4

so...

BD=√745 cm/2

17611：特別な自然数...クイズ ^^

問題17611・・・水野先生のサイト「水の流れ」http://ryugen3.sakura.ne.jp/renzoku.html より Orz〜

「ジュニア数学オピンピックへの挑戦」（日本評論社：安藤哲也著）という本から出題します。

 

(１)ｎは4桁の自然数で、完全平方数であり、ｎのどの桁の数字も8以下である。ｎの各桁に１を加えてできる数も完全平方数になるという。このようなｎをすべ求めよ。

 

(2)４桁の自然数ｎで、13の倍数であり、13ｎの下3桁が378になるようなものをすべて求めよ。

 

(3)自然数ｎの先頭に数字２を書き足し、末尾に数字１を書き足して得られる数は、33ｎに等しいという。このようなｎを１つ見つけよ。

解答

・わたしの...

(1)

n+1111=m^2

n=k^2

m^2-k^2=1111

(m+k)(m-k)=1111=11*101

so...

m+k=101

m-k=11

k=90/2=45

so...n=45^2=2025

(2)n=13k

13^2*k≡378 (mod 1000)

13^2=169　　

　　169

　　162

-------

    378

so...

13*162=2106

(3)

10n+2*10^k+1=33n

23n=2*10^k+1

n≡7  (mod 10)

(20+3)(10m+7)=200m+30m+161

n≡8  (mod100)

(20+3)(100m+87)=2000m+300m+2001

so...

n=87

2871/33=87

^^

17610：正接が等差数列なる△...

問題17610・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/102900.html#38714920 から Orz〜

　AB＝65，AC＝73 の △ABCにおいて、tanA，tanB，tanC がこの順に等差数列になるとき、BC＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38724472.html#38724472 より Orz〜

　A＋B＋C＝π なので、tan(A＋B)＝−tanC 、(tanA＋tanB)/(1−tanAtanB)＝−tanC 、

　tanA＋tanB＝−(1−tanAtanB)tanC 、tanA＋tanB＝−tanC＋tanAtanBtanC 、

　tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC です。

　tanA，tanB，tanC がこの順に等差数列ですので、tanA＋tanC＝2tanB が成り立ち、

　3tanB＝tanAtanBtanC 、tanB≠0 ですので、3＝tanAtanC です。

　ここで、tanA，tanB，tanC の少なくとも２個は正の数ですので、

　tanAtanC＞0 より、tanA＞0，tanC＞0 になり、tanB＞0 ですので、△ABCは鋭角三角形です。

　△ABCで、BH⊥AC となるように、辺AC上にHをとり、AH＝x，CH＝y，BH＝h とおけば、

　x＋y＝73 、三平方の定理より x²＋h²＝65² ，BC²＝h²＋y² です。

　また、tanA＝h/x ，tanC＝h/y であり、tanAtanC＝3 より、(h/x)(h/y)＝3 、h²＝3xy です。

　x²＋h²＝65² より、x²＋3xy＝65² 、3x(x＋y)−2x²＝65² 、3x(x＋y)−2x²＝65² 、3･73x−2x²＝65² 、

　2x²−219x＋(5･13)²＝0 、(x−25)(2x−169)＝0 、x＜73 だから、x＝25 ，y＝48 になります。

　従って、BC²＝h²＋y²＝3xy＋y²＝y(3x＋y)＝48･123 、BC＝(4√3)(√3)(√41)＝12√41 です。

*手計算でもなんとかなりますのねぇ ^^;

当初から諦めて...立式をPCにお願い申し奉りましたでござる...Orz...

2tanB=tanA+tanC

-2(tanA+tanC)/(1-tanA*tanC)=tanA+tanC
tanA+tanC=0 なら…B=0°なので、tanA+tanC≠0
so…
tanA*tanC=3
BC=wとして、
あとは、それぞれの頂点から対辺に下ろした足までの距離を、Aから時計回りに、x,65-x,z,w-z,y,73-y として、
A,B,Cからの推薦の長さの比をそれぞれ...65*73/w,65,73として式を作ると...
tanA=73/x=65/(73-y),tanC=1/y=73/((w-z)*w), tanB=65/(z*w)=1/(65-x),tanA+tanC=73/x+65/y=t2tanB=2*73/(65-x)
をPCにお願いしました...Orz
so...
x=365/13,y=48,z=200/√41,w=12√41
結局...
BC=w=12√41 

17609：点による円分割(モーザー数列)...^^;

問題17609・・・水野先生のサイト「水の流れ」http://ryugen3.sakura.ne.jp/renzoku.html より Orz〜

興味深い数列があります。それは、数列：１，２，４，８，１６,・・・」

第6項は一体どんな数が入るでしょうか。

過去、朝日新聞木曜日版にあった問題です。それがこの問題です

 

円周上にn個の点を取り、それらをすべて直線で結ぶ。このとき出来る領域の最大個数 をｎで表わせ。

 

注：この問題は1969年にレオ・モーザー（Leo Moser）が初めて問題を提起したので、モーザー数列と呼ばれている。

解答

under consideration...^^;

https://iwate-u.repo.nii.ac.jp/?action=repository_uri&item_id=11308&file_id=36&file_no=1 より引用 Orz〜

円分割って...下の問題しか考えたことなかったわん ^^;

こりゃ難しあるね ^^;;