アットランダム≒ブリコラージュ

17624：直角三角錐の頂点から底面までの高さは？...

「コンディトライ神戸」のチーズケーキ美味し♪

問題17624・・・出会いの泉より https://6626.teacup.com/shochandas/bbs? S(H)様紹介問 Orz〜

平成３０年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学の入試問題です。

「Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃを頂点とする４面体の３つの線分ＯＡ、ＯＢ、ＯＣが互いに
直交し、それぞれの長さがａ、ｂ、ｃであるとき、
頂点Ｏから平面ＡＢＣへ下ろした垂線の長さhを求めよ。

定理　; 1/h^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2 を証明せよ。

解答

デジャヴー  ^^

・わたしの...

直角三角錐における四平方の定理より...これ知ってると答えはすぐ出るので...これを証明することが必要なわけですけど...^^;

(https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kosu/mathematics/kirinuki/kirinuki13.html)

(△ABC)^2=(△OAB)^2+(△OAC)^2+(△OBC)^2

         =(ab)^2/4+(bc)^2/4+(ca)^2/4

四面体の体積=△ABC*h/3=abc/6

so...

h=abc/(2△ABC)

 =abc/√((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)

 =1/√(1/a^2+1/b^2+1/c^2)

so...

1/h^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2

・鍵コメY様からのスマートな解法 Orz〜♪

空間座標で、(a，0，0)，(0，b，0)，(0，0，c) を通る平面 x/a＋y/b＋z/c＝1 と
(0，0，0)の距離がｈが、h＝1/√(1/a²＋1/b²＋1/c²) であることを使っても明らかですが、
この証明に どれだけの知識を用いていいのかがよく分かりません。

*x/a+y/b=1と原点から、直線までの距離の応用(アナロジー)ですね☆

わたしなら使いたいですね ^^v

17623：周長が同じで面積最小の図形は？...

問題17623(思いつき問)

(!) 周長が同じで面積が最小の図形は？

(2) 表面積が同じで体積が最小の図形は？

解答

想定解はまたいずれ ^^

↑

想定回嘘っぱちでしたわ ^^;

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

面積0，体積0を許容しないとすると，次のようになると思います．

(1) 周長を2kに固定する．長方形に限定しても，
1つの辺長をxとして，他方の辺長はkより小さく，面積はkxより小さくなる．
xはいくらでも0に近づけることができるから，最小値はなし．
つまり，面積が最小の図形は存在しない．

(2) 表面積を4Sに固定する．
1つの面が正方形である直方体(正方形柱)に限定しても，
正方形の一辺をxとして，側面積は4Sより小さく，高さはS/xより小さくなり，
体積は(x^2)*S/x=Sxより小さくなる．
xはいくらでも0に近づけることができるから，最小値はなし．
つまり，体積が最小の図形は存在しない．

*ですよねぇ...^^;

わたしゃ...アホなこと考えてましたわ...^^;;...