アットランダム≒ブリコラージュ

17351：円に内接する□ABCDで、AB=x,BC=y,CD=z,DA=w のとき、対角線 AC,BDの長さをx,y,z,wの式で表してください...

問題17351(鍵コメT様からの一般化問題) Orz〜

四角形ABCDが円に内接し，AB=x,BC=y,CD=z,DA=wであるとき，

対角線AC,BDを求めよ。

解答

・鍵コメT様からのもの Orz〜

対角線の交点をPとして，

△APD ∽ △BPC

△APB ∽ △CPD

から、
AP:BP:CP:DP=wx:xy:yz:zw だから，AC:BD=(wx+yz):(xy+zw)，
トレミーの定理より，AC・BD=xz+yw．
よって，AC^2=(AC/BD)*(AC・BD)=(wx+yz)(xz+yw)/(xy+zw)，
BD^2=(BD/AC)*(AC・BD)=(xy+zw)(xz+yw)/(wx+yz)

so...

AC=√((wx+yz)(xz+yw)/(xy+zw))

BD=√((xy+zw)(xz+yw)/(wx+yz))

17350：関数の値の和...

問題17350・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38677105.html#38677105 より Orz〜

　f(x)＝1/(26＋26^x) として、

   f(1/800)＋f(2/800)＋f(3/800)＋……＋f(1598/800)＋f(1599/800)＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38686007.html より 引用 Orz〜

　f(x)＋f(2−x)＝1/(26＋26^x)＋1/(26＋26^2-x)＝26/｛26(26＋26^x)｝＋26^x/(26･26^x＋26²)

　 ＝(26＋26^x)/｛26(26＋26^x)｝＝1/26 になり、

　f(k/800)＋f((1600−k)/800)＝1/26 です。

　S＝f(1/800)＋f(2/800)＋f(3/800)＋……＋f(1598/800)＋f(1599/800) とおけば、

　S＝f(1599/800)＋f(1598/800)＋f(1597/800)＋……＋f(2/800)＋f(1/800) ですので、

　2S＝1599･1/26＝1599/26＝123/2 、S＝123/4 です。

*気づけず...^^;

PCの力を借りてゴリ押し...^^;

a=26,b=26^(1/800) と置いて、以下の式を計算させてみると...
1/(a+b)+1/(a+b^n)-(1/(a+b^2)+1/(a+b^(n-1))
=(b-1)(b^n-b^2)(b^(n+1)-a^2)/{(a+b)(a+b^2)(a+b^n)(ab+b^2)}
ここで、分子のb^(n+1)-a^2はn=1599 のとき、26^(1600/800)-26^2=0
so...
両端同士の和は等しいことがわかる...
so...
与式
=800*(1/(26+26^(1/800))+1/(26+26^(1599/800)))-1/(26+26^(800/800))
=30.75
=123/4 

(1/(26＋26^x)＋1/(26＋26^(2-x)))*1599/2=123/4

でよかったなんてまさかの展開でしたぁ !!