アットランダム≒ブリコラージュ

17354：1〜100までの整数が1つずつ黒板に書かれている.2つの数を消してその差を残していく操作を繰り返すとき、最後に黒板に1が残ることはあるか？...

問題17354・・・http://www.mathlion.jp/problem/pr113.html より 引用 Orz〜

解答

デジャヴー？

・わたしの...

1回の引き算で、例えば、a-bなら、最初のa+b-(a-b)=2b と、a+bが奇数でも、偶数でも、偶数分減っていく...so...最初1〜100までの和＝101*50=偶数なので...何回計算しても、偶数しか残らないはず ^^

so...奇数の1が残ることは不可能ね ^^

17353：a[n]=(1/24 )*(n^2 + n)^2 + (5/12) (n^2 + n) は nが自然数のとき 或る自然数の倍数である...

問題17353(wkf*h0*6様提示問 Orz〜)

a[n]=(1/24 )*(n^2 + n)^2 + (5/12) (n^2 + n)

は　nが自然数のとき　或る自然数の倍数であることを

(イ）◆常套手段の　数学的帰納法での証明◆　を願います;

(ロ)■漸化式　を　産み■　証明　の　発想で　願います;

解答

・わたしの...

(1/6)Σk^3+(5/6)Σk
=(1/6)Σk(k^2+5)
=(1/6)Σk((k-1)(k+1)+6)

so..Σ(k+1)C3+Σk
n>=2
=(3C3+4C3+...+(n+1)C3)+(n+1)C2
=(n+2)C4+(n+1)C2

までは解読したけど...^^;

1,4,11,25,50,91,154,...

17352：最小値...

問題17352・・・http://task.naganoblog.jp/c56195_1.html より 引用 Orz〜

解答

考えるの忘れてましたわ...^^;...

・鍵コメT様からのスマートなるもの Orz〜

a[k]b[k]+b[k]c[k]+c[k]a[k]=((a[k]+b[k]+c[k])^2-(a[k]^2+b[k]^2+c[k]^2))/2
が鍵になると思います．
a[k]^2+b[k]^2+c[k]^2の合計は(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)*3で一定なので，
(a[k]+b[k]+c[k])^2の合計を最小にすればよく，
それにはa[k]+b[k]+c[k]をできるだけ均等になるように分ければよいですね．
例えば1+3+6,2+4+5,3+6+1,4+5+2,6+1+3,5+2+4のように分ければ，
(a[k]+b[k]+c[k])^2の合計は(10^2+11^2)*3=663となり，
与式は(663-(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)*3)/2=195となって，これが最小値です．

*なるほどです ^^☆