アットランダム≒ブリコラージュ

17360：場合の数...素数p...1〜2pからp個選んだ和がpの倍数になる場合...

インド料理のチャーハンみたいなの旨し☆

ボリューミィ〜〜〜にて食べきれず...Orz...

問題17360・・・算チャレ掲示板より Orz〜

pを素数とし、1〜2pからp個の整数を選ぶとき、それらの和がpの倍数であるような場合の数を求めよ。

解答

・上記サイト掲示板より ぽっぽ様のもの Orz〜

なんとこの問題、一般のpの場合に1995年の国際数学オリンピックの最終問題に出たみたいです笑（近年の数学オリンピックの問題はもっと難易度が高めですが） 

以下の解法が最も自然でしょう： 

{1,2,…,2p}のp個の元からなる部分集合全体をAとおきます。 
Aの元に対して 
1→2,2→3,…,(p-1)→p,p→1,(p+1)→(p+1),…,2p→2pで置き換えるという操作を考えます。Aの元Sに対してこの操作をk回施したものをS_kと書きましょう。 
まず容易に分かるようにS_0=S_pです。 
次にSが{1,2,…,p},{p+1,p+2,…,2p}と異なるとき, 
S_0,S_1,…,S_(p-1)の各集合の元の総和をpで割った余りが互いに相異なることがわかります。(Sに含まれる{1,2,…,p}の元の数をlとしたとき,mod pで項差がlの等差数列になるので) 
したがって,Aの{1,2,…,p},{p+1,p+2,…,2p}と異なる元について、その総和がpの倍数になる確率が1/pになることがわかります。以上より求める結果を得ます。 

他にも(x^p-1)^2を複素数の範囲で因数分解するというとてもエレガントな証明もあるようです。この方針は強力で直ちに「{1,2,…,kp}のn元部分集合」に変えた一般化も証明します。（実は最初の方針でも少し工夫するとこれを示すことが出来ます） 

以下のページが参考になると思います(英語ですが) 

https://math.stackexchange.com/questions/314788/let-p-be-an-odd-prime-number-how-many-p-element-subsets-of-1-2-3-4-ldo

*(2pCp-2)/p+2

となるようです...

ばってん...わたしゃ、よくわかってなかとです...^^;

17359：各桁が1,2,3,4,5,6のいずれかである4桁の数で7の倍数はいくつ？...パズル ^^

これ、想定外の美味さで嬉し ^^v☆

問題17359(友人問)

各桁の数字が1,2,3,4,5,6のいずれかである4桁の自然数のうち、

7の倍数はいくつあるか。

解答

・わたしの...

デジャヴーだと思う... ^^

7桁なら、

6桁のうち、7の倍数x個

以外は、1〜6を付け加えると7の倍数になる

so...

(6!-x)=7!/(6*2!)=420

so...x=6!-420=720-420=300

5桁の数のうち7の倍数でなかったものが6桁の7の倍数(x個)になり、

4桁の7の倍数だったものは5桁では7の倍数にはなれないわけだから、

4桁の7の倍数=x=300個

^^

↑

勘違いも含めおかしかったですわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの  Orz〜

「7桁なら，6桁のうち，7の倍数でないものに対応して7の倍数がある」(*)
のは正しいですが，「6!」とか「7!/(6*2!)」とかは意味がありません．

(*)の考え方を用いて，次のようになります．
n桁の7の倍数の個数をa[n]とする．
n+1桁の7の倍数は，n桁の，7の倍数でないものに対応して得られるから，
a[n+1]=6^n-a[n].
a[1]=0から，a[2]=6-0=6,a[3]=36-6=30,a[4]=216-30=186.

なお，a[n]/6^n=b[n]とすれば，
6^(n+1)*b[n+1]=6^n-6^n*b[n]から，b[n+1]=1/6-b[n]/6となり，
b[n+1]-1/7=-(1/6)*(b[n]-1/7)となります．
これより，b[n]-1/7=(b[1]-1/7)*(-1/6)^(n-1)=6/7*(-1/6)^n，
b[n]=1/7+6/7*(-1/6)^nとなって，a[n]=(6^n+6*(-1)^n)/7です．
これからa[4]=186を得ることもできますが，
4桁くらいなら順次求める方が多分楽でしょう．

*前半はよくわかりましたぁ ^^♪

17358：地下鉄路線図...任意の３個(A,B,C)の駅を選んでもCを通らずにAからBに行ける.任意の2つの駅は途中同じ駅を経由せずに繋がってる...

問題17358・・・http://www.mathlion.jp/index.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

題意がよく掴めないけど、

全ての駅同士が繋がっている...

3駅のとき、明らかにA-Bで可能...

4駅(A,B,C,D)でも、(ABC),(ABD),(BCD)同士は繋がってるので、どこからでも可能...

k駅の場合可能であれば、

k+1駅の場合、任意の1駅を除いたk駅でも、k-1駅では可能なので、除いた1駅でない方とも全てが繋がってるので、k-1駅のどこから、どこまででも繋がってる...

web ネットワークと同じですね ^^

・鍵コメH様からのもの Orz〜

題意としては、任意の二駅間を途中で同じ駅を通らずに往復できることを示せばいいという事ですね。
例えば山手線の場合ならどのように二駅選んでも内回りと外回りで条件を満たします。

*山手線が題意をみたす路線になっているわけですね☆

17357：n^5+n^4+10n^3+23n^2+13n+296*13^(2n-1)+46^(2n-1)≡0 (mod d) なる dを求めよ。

問題17357(wkf*h0*6様提示問 Orz〜)

N∋n

 a[n]= n^5+n^4+10*n^3+23*n^2+13*n+296*13^(2*n-1)+46^(2*n-1) ∈Z  

は　或る　d∈N で　割り切れることを証明せよ。

解答

・わたしの...

296*13*(13^2)^(n-1)+46*(46^2)^(n-1)

n^5+n^4+10n^3+23n^2+13n+296*13+46

=n^5+n^4+10n^3+23n^2+13n+3894

3894=2*3*11*59

n^5+n^4+10n^3+23n^2+13n

=n(n^4+n^3+10n^2+23n+13)

2,3,以外は例えば、11m+1,59m+1では割り切れない

so...

d=2,3

だと思う ^^

17356：1〜10までのカードから５枚を選んでその和が５の倍数になる選び方は何通り？

問題17356・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

１から１０までのカードが１枚ずつあります。
これらから５枚を選んで、カードに書かれた数の合計が５の倍数になるようにします。
（例えば、１、３，４，７，１０の５枚のカードを選べば、合計は１＋３＋４＋７＋１０＝２５となり、５の倍数になりますね）

このとき、５枚のカードの選び方は、全部で何通りあるでしょうか。

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

なんども抜けてましたわ ^^;