17355：不等式３個で、a[n]<A[n]が導かれるようなものは？

問題17355・・・出会いの泉より https://6626.teacup.com/shochandas/bbs?  ハンニバル・フォーチュン 様紹介問 Orz〜

有限数列 a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7]
およびに
有限数列 A[1],A[2],A[3],A[4],A[5],A[6],A[7]
がある。

上記各項の値は、それぞれ、100 または 101 であるとする。

後に述べるような条件を満たす３本の不等式を作って、それらの不等式が成立するときには
a[n] < A[n]  (1≦n≦7)
が導かれるようにして頂きたい。

３本の不等式の条件。

左辺 ＜ 右辺
の形である。

左辺は、a[n] または A[n] の中から5個をダブらせずに選んだものの総和とする.
右辺は、a[n] または A[n] の中から5個をダブらせずに選んだものの総和とする.

解答

上記サイトより Orz〜

・らすかる様 & DD++様 のもの Orz〜

(1)A[3]+A[4]+a[5]+a[6]+a[1]＜a[3]+a[4]+A[5]+A[6]+A[1]
(2)A[5]+A[6]+a[3]+a[4]+a[2]＜a[5]+a[6]+A[3]+A[4]+A[2]
(3)A[1]+A[2]+a[3]+a[4]+a[7]＜a[1]+a[2]+A[3]+A[4]+A[7]

(1)から A[3]+A[4]+a[5]+a[6]+a[1]+1≦a[3]+a[4]+A[5]+A[6]+A[1]
(2)から A[5]+A[6]+a[3]+a[4]+a[2]+1≦a[5]+a[6]+A[3]+A[4]+A[2]
2式を足すと a[1]+a[2]+2≦A[1]+A[2] なので a[1]＜A[1],a[2]＜A[2]
すると(3)からa[3]＜A[3],a[4]＜A[4],a[7]＜A[7]
そして(1)からa[5]＜A[5],a[6]＜A[6]

・ハンニバル・フォーチュン 様の想定解 Orz〜

不等式（８）a[1]+a[2]+A[3]+A[4]+A[5] < A[1]+A[2]+a[3]+A[6]+A[7]
不等式（９）A[1]+A[2]+a[3]+a[6]+a[7] < a[1]+a[2]+A[3]+A[4]+A[5]
不等式（１０）a[3]+a[4]+a[5]+A[6]+A[7] < A[3]+A[4]+A[5]+a[6]+a[7]

不等式（８）の左辺と不等式（９）の右辺は同じ形になっています。
不等式（８）の右辺と不等式（９）の左辺ではA[1]+A[2]+a[3]が共通で、差違が見られるのは（８）ではA[6]+A[7]であるのに対して（９）では a[6]+a[7] となっているところです。この点に注意して不等式（８）と（９）とから以下の２本の不等式が得られます。

不等式（６）a[6] < A[6]
不等式（７）a[7] < A[7]
※不等式（６）（７）が成立しなければ不等式（８）（９）は成立しません。

次に
不等式（６）（７）に留意しながら不等式（１０）を見れば、以下の３本の不等式が得られます。

不等式（３）a[3] < A[3]
不等式（４）a[4] < A[4]
不等式（５）a[5] < A[5]

次に
不等式（４）から（７）までに留意して不等式（８）から以下が得られます。

不等式（１１）a[1]+a[2]+A[3] < A[1]+A[2]+a[3]
※A[4]+A[5]はA[6]+A[7]に等しいため
不等式（３）に留意すれば不等式（１１）より以下が得られます。

不等式（１）a[1] < A[1]
不等式（２）a[2] < A[2]

◆（８）（９）の組み合わせが面白いと思いました。

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「5個をダブらせずに選ぶ」という条件がなければ，問題16760と同じことであり，

https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/50235800.html 参照願います ^^

a[1]<A{1],
A[1]+a[2]+a[3]<a[1]+A[2]+A[3],
A[1]+A[2]+A[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]<a[1]+a[2]+a[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]
でいいわけですが，条件が加わって少し難度が上がっていますね．

A[1]+A[2]+a[4]+a[5]+a[6]<a[1]+a[2]+A[4]+A[5]+A[6]…(*1)
A[4]+A[5]+a[1]+a[2]+a[7]<a[4]+a[5]+A[1]+A[2]+A[7]…(*2)
A[6]+A[7]+a[1]+a[2]+a[3]<a[6]+a[7]+A[1]+A[2]+A[3]…(*3)
でよさそうに思います．

(*1)から，
A[1]+A[2]+a[4]+a[5]+a[6]≦a[1]+a[2]+A[4]+A[5]+A[6]-1.
(*2)から，
A[4]+A[5]+a[1]+a[2]+a[7]≦a[4]+a[5]+A[1]+A[2]+A[7]-1.
(*3)から，
A[6]+A[7]+a[1]+a[2]+a[3]≦a[6]+a[7]+A[1]+A[2]+A[3]-1.
辺々足して，
a[1]+a[2]+a[3]≦A[1]+A[2]+A[3]-3となり，
a[1]<A[1],a[2]<A[2],a[3]<A[3]，
つまりA[1]=a[1]+1,A[2]=a[2]+1,A[3]=a[3]+1が得られます．
これと(*1)から，2+a[4]+a[5]+a[6]<A[4]+A[5]+A[6]となって，
a[4]<A{4],a[5]<A[5],a[6]<A[6]，
つまりA[4]=a[4]+1,A[5]=a[5]+1,A[6]=a[6]+1が得られます．
このとき(*2)はa[7]<A[7]となって，条件が満たされていると思います．

*つわものどもの夢の跡...☆

同床異夢...^^;;...