アットランダム≒ブリコラージュ

17711：求長...△内の△...クイズ ^^

問題17711・・・https://hackmd.io/s/BJOydh7Eg より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

無理やり...?

17710：旧跡...□内の□...クイズ ^^

17710・・・https://hackmd.io/s/BJOydh7Eg より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

17709：円内の2つの等脚台形...

問題17709・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38737014.html#38737014 より Orz〜

　x＞8 とします。４辺が 8，8，8，x の等脚台形と ４辺が 8，x，x，x の等脚台形とが、

　等しい半径の外接円をもつとき、x＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38746048.html より Orz〜

[解答1]

　AB＝BC＝CA＝a ，AD＝b (a≠b) の等脚台形を考えると、トレミーの定理より、

　AC･BD＝AB･CD＋AD･BC だから、AC²＝a²＋ab です。

　また、凧形ABCEを考え、外接円の直径 BE＝d とします。

　三平方の定理より、EA²＝EC²＝d²−a² 、

　凧形の面積は、BC･EC＝BE･AC/2 だから、BE²･AC²＝4BC²･EC² 、d²AC²＝4a²(d²−a²) 、

　d²(a²＋ab)＝4a²(d²−a²) 、d²(a＋b)＝4a(d²−a²) 、4a³＝d²(3a−b) 、d²＝4a³/(3a−b) です。

　辺の長さが a，a，a，b の等脚台形と a，b，b，b の等脚台形と外接円の直径が等しいとき、

　4a³/(3a−b)＝4b³/(3b−a) 、b³(3a−b)＝a³(3b−a) 、a⁴−b⁴−3a³b＋3ab³＝0 、

　(a²＋b²)(a²−b²)−3ab(a²−b²)＝0 、(a²−3ab＋b²)(a²−b²)＝0 、a²−3ab＋b²＝0 です。

　a＝x，b＝8 とすれば、x²−24x＋64＝0 、x＝12±4√5 、x＞8 より x＝12＋4√5 です。


[解答2]

　右図のように、辺の長さが 8，8，8，x の等脚台形３個と 8，x，x，x の等脚台形１個とを

　同じ円に内接させると 正十角形ができ、円の半径をRとすれば、x＝2Rsin54ﾟ，8＝2Rsin18ﾟ で、

　x＝2Rsin54ﾟ＝2R(3sin18ﾟ−4sin³18ﾟ)＝(2Rsin18ﾟ)(3−4sin²18ﾟ)＝8｛3−4(1−cos36ﾟ)/2｝

　 ＝8(1＋2cos36ﾟ)＝8＋16cos36ﾟ＝8＋16(1＋√5)/4＝12＋4√5 です。

☆ cos36ﾟ については https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/27490026.html 参照。

*[解答1]の風味で ^^;

トレミーとピタゴラスで...
8,8,8,xの等脚台形の対角線：y
外接円の半径：r 
として...

8x+64=y^2
8x+x^2=4r^2-8^2
16r+8x=y*√(4r^2-8^2)

をPCにお願いしました ^^;

x=4(3+√5)=12+4√5 ♪
(ちなみに半径 r=4+4√5)

or

(x-8)*8/x+x=2r
4r^2-8^2=2r*x+8^2

からでも、同じように出せますね ^^;v

*正10角形...気づかなかった...^^;;

cos36°=(√5+1)/4 は覚えておこっかな ♪