2018年11月21日の記事一覧 - 詳細表示

17796：集合...A={1,2,3,4,5,6},写像fを3回合成した写像 f(f(f(a)))=a となるfは何個？...

問題17796(友人問)

A={1,2,3,4,5,6}　とする。　写像f:A→Aのうちで

fを3回合成した写像f･f･fが恒等写像になるようなfは何個あるか？

解答

デジャヴー？

・わたしの...

1,2,...,6 を 0,1,...,5 をあまりと考えて...mod 6で...

6m/3=k (k=1～6)

m=1...k=2

m=2...k=4

m=3...k=6

so...

mod 6において...

f(a)=f(a)

f(a)=f(a+2)

f(a)=f(a+4)

の3種類ってことでいいのかいなぁ ^^

↑

まだありましたというか...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

例えば，f(1)=2,f(2)=4,f(4)=1,f(3)=3,f(5)=5,f(6)=6は条件を満たします．

f(1)=2,f(2)=4,f(4)=1,f(3)=3,f(5)=5,f(6)=6
は，1→2→4→1でループをなし，他は不変であるものであり，
同様の例が(6C3)*2=40(通り)あります．
他に，3つでループをなす2組を合わせたものが((6C3)/2)*2^2=40(通り)，
恒等変換が1通りで，合計81通りだと思います．

*3巡して戻れる組み合わせをもれなく数えなきゃいけませんのでした ^^;v

・友人から届いたもの...

17795：自然数を2種類に分ける方法...

コーヒー漬けの半日直 ^^;v

問題17795

自然数をある規則で２種類に分ける方法を思いつくだけ考えてください。

解答

・偶奇

・素数とそれ以外

・k乗数とそれ以外

・フィボナッチ数とそれ以外

・完全数とそれ以外

・ある整数の約数とそれ以外

・ある数と互いに素な数とそれ以外

・ある数までとそれより大きい数

・三角数とそれ以外

・ある数字しか出現しない数とそれ以外...

・ある倍数とそれ以外

・階乗数とそれ以外

・ベルヌーイ数とそれ以外

・鏡像数とそれ以外

・聖書の中に使われている数とそれ以外

・例えば、πで...3,31,314,3145,,,, の数とそれ以外

・わたし(or 世界中の人)が一番好きな数と思ってる数らとそれ以外

　...ちと無理あるか ^^

とかと、いたってつまらないものしか思いつけないのですが...^^;

たまたま見つけた以下のもの...なんてのは面白いと思いましたもので ^^

・ビーティ列

「数学におけるビーティ列は正の無理数の整数倍の床関数をとることによって得られる整数列である。ビーティ列の名称は、1926年にそれらについて著したサミュエル・ビーティに因む。レイリー卿に名を因むレイリーの定理は、ビーティ列の補集合（数列に現れない正整数からなる集合）がそれ自身別の無理数で生成されるビーティ列となることを述べる。

正の無理数

r

はビーティ列

ℬ r : = ⌊ r ⌋, ⌊2 r ⌋, ⌊3 r ⌋, \dots

を生成する。

r > 1

ならば

s : = r /(r － 1)

もまた無理数で、これら二つは等式

1/ r + 1/ s = 1

を自然に満足する。これらが生成する二つのビーティ列

ℬ r, ℬ s

はビーティ列の相補対を成す。ここに「補」("complementary") は任意の正整数がこれら二つの列のうちどちらかちょうど一つに属することを意味している。

r : = φ

を黄金比とすれば、

s = r + 1

である。この場合、整数列

(⌊ nr ⌋)

は下ワイソフ列

1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, \dots

(オンライン整数列大辞典の数列 A000201)

であり、補列

(⌊ ns ⌋)

は上ワイソフ列

$2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, \dots$ (A001950)

である。これらの列はワイソフのゲームの最適戦略を定義し、ワイソフ配列の定義に用いられる。

もう一つの例として、

r : = = \sqrt 2, s = 2 + \sqrt 2

の場合、数列は

$1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, \dots$ (A001951);
$3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, \dots$ (A001952).

あるいは

r : = π, s = π /(π - 1)

に対する列は

$3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, \dots$ (A022844);
$1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, \dots$ (A054386).

これら数列の対に関して、第一の列に現れるどの数も第二の列には現れず、またその逆も言えるということに注意せよ。」

*無理数だからこそ可能なのでしょうね ^^

17794：重なる3球の交点の個数は？...

問題17794(思いつき疑問)

(1) 3球がお互いに部分的に重なっているときの交点はいくつある？

(2) それを平面に落としたとき、3円の交線の交わりは1点になるわけですが、

3球の交点が複数個の場合は平面に落とした3円の交線の交わりはどう考えればいいのでしょう？

(別記事(https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/50343797.html) 参照)

解答

(1)

2点と思うし...そのようですね ^^(GPSの仕組みの説明文からも...)

(2)

これがよくわからないまま...^^;;

・鍵コメT様から頂戴した解説 Orz～☆

3球を「平面に落とす」とき，どんな平面に落としても各球は円になりますが，
2球の共有点(当然ある円をなします)は，
その円を含む平面に垂直な平面に落としたときのみ直線(の一部の線分)となり，
それ以外の場合は，楕円となります．

平面上にできた3円のうちの，2円の2交点を通る直線は1点Aで交わりますが，
この交点が，3球の2交点に対応するのは，平面が，
3球の中心をすべて通る平面P0，またはそれと平行な平面の場合です．
3球の2交点は，平面P0に関して対称であり，
この2交点をP0に落とせば，同一の点(2交点の中点)となり，
この点がAとなります．

*なる!!