17988：平方根の四捨五入...

問題17988・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38787754.html#38787754 より Orz〜

　正の数ｘに対して、√x の小数点以下を四捨五入して得られる整数を r(x) とします。

　例えば r(6)＝2，r(7)＝3 で、6−r(6)＝7−r(7) です。

　n＝6，7 のように、自然数ｎのうち、n−r(n)＝k−r(k) を満たすｎ以外の自然数ｋが存在する

ものを小さい順に並べるとき、2240番目の自然数は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38796366.html より Orz〜

　r(1)＝1，r(2)＝1，r(3)＝2，r(4)＝2，r(5)＝2，r(6)＝2，r(7)＝3，r(8)＝3，……

　であり、数列｛r(n)｝は広義単調増加で、r(n＋1)−r(n)＝0 であることが多く、

　r(n＋1)−r(n)＝1 となるのは、ある自然数ｋに対して、n＜(k＋1/2)²＜n＋1 のときです。

　s(x)＝x−r(x) とおけば、

　s(1)＝0，s(2)＝1，s(3)＝1，s(4)＝2，s(5)＝3，s(6)＝4，s(7)＝4，s(8)＝5，……

　であり、数列｛s(n)｝も広義単調増加で、s(n＋1)＝s(n) は r(n＋1)−r(n)＝1 のときです。

　このとき、n＜(k＋1/2)²＜n＋1 、n＜k²＋k＋1/4＜n＋1 、n＝k²＋k ですので、

　題意に適する自然数を小さい順に並べると、　(2k−1)番目が k²＋k ，(2k)番目が k²＋k＋1 です。

　従って、2240番目の自然数は 1120²＋1120＋1＝1255521 です。

*少々アバウトでしたが...^^;

n^2<k<(n+1)^2
題意をみたす値=n^2-nで、あるとしたら、n^2+mとn^2+m+1のペアしかないはず...n<√k<n+1だから、n^2+mとn^2+(m-1)は等しくならず、n^2+m+1とn^2+m+2は等しくなれないから...
so...1〜2^2,2^2〜3^2,...の間に1ペアずつあることになるので、
2240番目は1120個のペアの時で、
1120^2+(1121^2-(1120^2-1))/2=1255521 
のはずね ^^

も少し厳密に...^^;

n^2<m<n^2+2n+1の2n個のうちにペアの1組が存在...
それはn^2+nとn^2+n+1...
r(√((n+1/2)^2-1/4))=n
r(√(n+1/2)^2+3/4)=n+1
で、題意をみたすので...
2240番目は、
n=2240/2=1120
so...
1120^2+1120+1=1255521