アットランダム≒ブリコラージュ

15408：証明...実数a,b,c,dの関係式を満たすとき,|a|=|c|かつ|b|=|d|...

問題15408・・・https://twitter.com/mathlion_jp より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

a^2d^2=b^2c^2

d^2(a^2+b^2)=d^2

b^2(c^2+d^2)=b^2

so...

b^2=d^2

c^2(a^2+b^2)=c^2

a^2(c^2+d^2)=a^2

so...

a^2=c^2

so...

|b|=|d|

|a|=|c|

ね ^^

15407：62を7,8,9の和で表す方法は何通り？...

問題15407・・・浮浪様のサイト「浮浪の館」より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

勝手読みしてますた...^^;

15406：正八角形の面積比...

問題15406・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38289153.html#38289153 より Orz〜

　半径がｒの円に内接する正八角形の面積が１のとき、外接する正八角形の面積は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38300024.html より Orz〜

[解答1]

　内接する正八角形の面積は 8･(1/2)r²sin(2π/8)＝1 より、8r²＝2√2 、

　外接する正八角形の面積を S とすれば、

　S＝16･(1/2)r²tan(2π/16)＝8r²tan(π/8)＝(2√2)tan(π/8) 、

　tan²(π/8)＝｛1−cos(π/4)｝/｛1＋cos(π/4)｝＝｛√2−(√2)cos(π/4)｝/｛√2＋(√2)cos(π/4)｝

　 ＝(√2−1)/(√2＋1)＝(√2−1)² だから、tan(π/8)＝√2−1 で、

　S＝(2√2)(√2−1)＝4−2√2＝1．17157…… です。

　なお、中図のように、鋭角が π/8，3π/8 の直角三角形は、

　直角二等辺三角形をつければ底角が 3π/8 の二等辺三角形になりますので、

　直角をはさむ２辺の比は 1：(√2−1) になり、tan(π/8)＝√2−1 が得られます。


[解答2]

　右図のように、内接正八角形を π/8 回転させれば、

　外接正八角形と内接正八角形の相似比は、

　鋭角が π/8，3π/8 の直角三角形の斜辺と 3π/8 の角の対辺の比になります。

　中図のように、直角二等辺三角形をつければ底角が 3π/8 の二等辺三角形になりますので、

　直角をはさむ２辺の比は 1：(√2−1) になり、

　外接正八角形と内接正八角形の面積比は、

　｛(√2−1)²＋1²｝：1²＝(2−2√2＋1＋1)：1＝(4−2√2)：1 、

　外接正八角形の面積は 4−2√2＝1．17157…… です。

*真ん中の図はなるほどね☆

余弦でしかわからず...^^;

r^2/√2=s*h
h=r^2/(√2*s)
2r^2*(1-1/√2)=s^2
求めるものは...
(r/h)^2=2(s/r)^2
=2*2*(1-1/√2)
=2√2*(√2-1)
=2(2-√2)

15405：証明...(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5は常に5の倍数...

問題15405・・・https://twitter.com/mathlion_jp より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(x+y+z)^5

=(x+y)^5+5*g(x,y,z)+z^5

=x^5+5*s(x,y)+y^5+5*g(x,y,z)+z^5

=x^5+y^5+z^5+5*t(x,y,z)

から、明らかね ^^

パスカルの三角から...

(1,1)-(1,2,1)-(1,3,3,1)-(1,4,6,4,1)-(1,5,10,10,5,1)

5乗の係数は両端を除いて5の倍数あるね ^^

素数乗のときは...そうなりますね ^^

分母は互いに素なものしか出ないから、分子の素数は残る...

15404：計算...2(2(2(2(2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1

問題15404・・・https://twitter.com/mathlion_jp より 引用 Orz〜

2(2(2(2(2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1)+1 の値はいくつ？

解答

・わたしの...

1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024

=2*1024-1

=2047

ね ^^