2018年02月13日の記事一覧 - 詳細表示

「21」に絡んだ話題...^^

「21」という数に絡んだ話を最近読んだんですが、いま探しても見つけられなくて...^^;

(1) ビリヤードの問題

http://tsukikusa.blog-rpg.com/雑記/ビリヤードの玉の問題より引用 Orz～

『五つのビリヤードの玉を、真珠のネックレスのように、リングにつなげてみるとしよう。玉には、それぞれナンバーが書いてあるな。さて、この五つの玉のうち、幾つ取っても良いが、隣どうし連続したものしか取れないとしよう。一つでも、二つでも、五つ全部でも良い。しかし、離れているものは取れない。この条件で取った玉のナンバーを足し合わせて、1から21までのすべての数ができるようにしたい。さあ、どのナンバーの玉をどのように並べて、ネックレスを作れば良いかな？』

(森博嗣『笑わない数学者』より抜粋)

「21の持つ意味を説明しますと、これは5個の玉の取り方の数になります。

取る玉の数1～4個に対して、取り始める点が5か所ずつ、それに全て取った場合の1通りを加えて 4*5+1=21 通りですね。
n個に拡張した場合は n(n-1)+1 通りになります。」

答えは...

[2 -- 10 -- 3 -- 1 -- 5]...鏡像を同じと考えたら...唯一解

ちなみに...

6個の場合は...1～6*5+1=31までで...以下のサイトで見つけましたぁ♪

http://blog.livedoor.jp/miya5000/archives/53035894.html より引用 Orz～

「[14--1--7--3--2--4], [3--1--14--5--2--6],[1--10--8--7--2--3], [1--2--5--4--6--13],

[1--2--7--4--12--5]」

but...唯一解じゃないのよね...and...一般のn個の時は必ず解があるのかどうか調べても見つけられませんでした...^^;

(2) 完全正方形分割

画像：https://blogs.yahoo.co.jp/sta_vanilla/54244001.html より引用 Orz～

画像：https://ja.wikipedia.org/wiki/ルジンの問題より引用 Orz～

「ルジンの問題（Luzin）とは、正方形に関してニコライ・ルジン (Nikolai Luzin) が考えた問題である。

「任意の正方形を、2個以上の全て異なる大きさの正方形に分割できるか」という問題であり、ルジンはこの問題の解は存在しないと予想したが、その後幾つかの例が発見された。

最小の解は21個で、A. J. W. Duijvestijn がコンピュータを使って発見し、それが最小の解であることを証明した。1辺 112 の正方形を、一辺の長さがそれぞれ 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42, 50 の計21枚の正方形で、隙間なく埋めつくすことが出来る。

面積から見た検算:

2² + 4² + 6² + 7² + 8² + 9² + 11² + 15² + 16² + 17² + 18² + 19² + 24² + 25² + 27² + 29² + 33² + 35² + 37² + 42² + 50²= 12544 = 112².」

と...この場合も唯一解...

22個以上の場合は...複数解のようです...

http://www.geocities.co.jp/Berkeley-Labo/6317/seihoukei_01.htm 参照

(3) カークマンの女生徒問題

https://kotobank.jp/word/組合せ理論-1161277 より引用 Orz～

「15人の女生徒が毎日3人ずつ5組に分かれて散歩に出かける。1週間の間に15人のうちのどの2人も、ちょうど1回だけ同じ組になるようにするには、組分けをどのようにすればよいか。これがカークマンの女生徒問題である。カークマンは1847年にこの問題を提起しその解答を与えている。この問題の一つの解答をあげておく。15人の女生徒を1から15までの数で表す。」

この場合、解は複数あるようです...

15+6=21以上の場合は明らかでないと書かれていたのですが...(元ソース見つけられない...Orz)...so...「21」がらみの話としてアップしておこうかと思ってたのですが...

出会いの泉掲示板にてハンニバル・フォーチュン様の引用文献には、21以上の場合も解かれているようですねぇ ^^

http://www.mathpuzzle.com/MAA/54-Golf%20Tournaments/mathgames_08_14_07.html 参照

また、これに関係した美しいフォルムを引用させていただきまっす☆

画像：カークマンの女学生問題と有限幾何 https://www.slideshare.net/yam6da/ss-27340068 より引用 Orz～

*なんでも...ブロックデザインとして考えられるらしい...^^;...

"平行な"5本の線分の組み合わせが7セット取り出せるらしい...

↓

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15445：内接円と傍接円との半径の差は？

問題15445・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38294618.html より Orz～

BC＝27 で tan(∠BAC/2)＝13/6 である △ABCの辺BCに接する傍接円の半径と内接円の半径の差は？なお、図は正確ではありません。

解答

上記サイトhttps://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38304600.html より Orz～

[解答1]

　∠BAC＝θ ，tan(θ/2)＝t とします。

　辺BCに接する傍接円の中心を P，半径を r とすれば、

　△ABC＝△PAB＋△PAC－△PBC より、

　2△ABC＝2△PAB＋2△PAC－2△PBC＝AB･r＋AC･r－BC･r＝(AB＋AC－BC)･r 、

　r＝2△ABC/(AB＋AC－BC)＝(AB･AC･sinθ)/(AB＋AC－BC) です。

　内接円の半径は 2△ABC/(AB＋AC＋BC)＝(AB･AC･sinθ)/(AB＋AC＋BC) です。

　よって、辺BCに接する傍接円の半径と内接円の半径の差は、

　(AB･AC･sinθ)/(AB＋AC－BC)－(AB･AC･sinθ)/(AB＋AC＋BC)

　＝(AB･AC･sinθ)｛1/(AB＋AC－BC)－1/(AB＋AC＋BC)｝

　＝(AB･AC･sinθ)｛(AB＋AC＋BC)－(AB＋AC－BC)｝/｛(AB＋AC－BC)(AB＋AC＋BC)｝

　＝(2BC･AB･AC･sinθ)/｛(AB＋AC)²－BC²｝

　＝(2BC･AB･AC･sinθ)/(AB²＋2･AB･AC＋AC²－AB²－AC²＋2･AB･AC･cosθ)

　＝(2BC･AB･AC･sinθ)/｛2･AB･AC･(1＋cosθ)｝＝(BC･sinθ)/(1＋cosθ)

　＝｛BC･2t/(1＋t²)｝/｛1＋(1－t²)/(1＋t²)｝＝BC･2t/｛(1＋t²)＋(1－t²)｝＝BC･t

　BC＝27 ，t＝13/6 なので、27･13/6＝117/2 です。

[解答2]

　A，B，C から内接円との接点までの距離をそれぞれ a，b，c 、

　B，C から傍接円との接点までの距離をそれぞれ m，n とします。

　内接円の半径は a･tan(∠BAC/2) 、

　傍接円の半径は (a＋b＋m)･tan(∠BAC/2)＝(a＋c＋n)･tan(∠BAC/2) ですので、

　その差を d とすれば、d＝(b＋m)･tan(∠BAC/2)＝(c＋n)･tan(∠BAC/2) です。

　2d＝(b＋c＋m＋n)･tan(∠BAC/2) になり、b＋c＝BC ，m＋n＝BC だから、

　2d＝2BC･tan(∠BAC/2) 、d＝BC･tan(∠BAC/2) です。

　BC＝27 ，tan(∠BAC/2)＝13/6 なので、d＝27･13/6＝117/2 です。

☆ 具体例としては、BC＝27 ，AB＝405/52 ，AC＝1107/52 のとき、

　tan(∠BAC/2)＝13/6 ，内接円の半径は 9/4 ，BCに接する傍接円の半径は 243/4 です。

*ギリチョンで気づけましたぁ ^^;v

(R-r)/tanθ=a+x=b+y
BC=a+b=x+y
so...
(R-r)=(2BC/2)*tanθ
=27*(13/6)
=9*13/2
=117/2