アットランダム≒ブリコラージュ

15582：10^2013-1の100以下の約数は？...^^;

問題15582・・・http://www.imojp.org/challenge/old/jmo23yq.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

10^2013-1=99...99・・・9が2013個

2013=3*11*61

1,3,9,27があり、

素数pの1/pの循環節の長さが3,9,11,27,33,61 になりうる素数pを考える...

3...7,13,19,31,37,43,61,67,73,79,97

9...上に含まれる

11...23,67,89,

27...なし

33...67

61...なし

1/7の循環節...6

1/13...6

1/19...18

1/31...15

1/37...3・・・○

1/43...21

1/61...60

1/67...33・・・○

1/73...8

1/79...13

1/97...96

1/23...22

1/89...44

けっきょく...

1,3,9,27,37,67

これは計算機がないと無理あるね ^^;

15581：多項式の係数の和...

問題15581・・・http://www.imojp.org/challenge/old/jmo23yq.html より 引用 Orz〜

・サイト http://mathnegi.blog.fc2.com/category5-14.html ;のエレガントな解法 Orz〜

f(1)=2^3*3^3*4^3

f(-1)=0

so,,,

2(a0+a2+a4+a6+a8)=2^3*3^3*4^3

so...

a2+a4+a6+a8=2^2*3^3*4^3-2^3*3^3=6696

*なるほど☆

15580：確率...サイコロの目...復習 ^^

問題15580・・・http://mathnegi.blog.fc2.com/category5-17.html より 引用 Orz〜

(1)１つのサイコロを続けて２回投げたとき，１の目と２の目が１回ずつ出る確率は？

(2) ２つの区別のないサイコロを同時に投げるとき，１と２の目が１個ずつ出る確率は？

(3) ２つの区別のないサイコロを１個ずつ続けて投げるとき，１と２の目が１回ずつ出る確率は？

(4) ２つの区別のあるサイコロを同時に投げるとき，１と２の目が１回ずつ出る確率は？

(5) ２つの区別のあるサイコロを１個ずつ続けて投げるとき，１と２の目が１回ずつ出る確率は？

(6) 「10000個全部１の目が出る」事象と「１の目が５０００個，２の目が５０００個出る」事象はどちらが起こりやすいか？

解答

・わたしの...

(1)

(2/6)(1/6)=1/18

(2)

(1,2) or (2,1) が出ればいいので...

2/6^2=1/18

(3)

1回目に1 or 2が出たら、2回目は1/6

so...

(2/6)(1/6)=1/18

(4)

(1,2) or (2,1) なので...

2/6^2=1/18

(5)

(2/6)(1/6)=1/18

(6)

1が10000回連続する...(1/6)^10000

1が5000回、2が5000回連続する...(10000C5000)*(1/6)^5000*(1/6)^5000

10000C5000は整数なので、後者の方が多い ^^

15579：1999!/10^n...

問題15579(友人問)

1999!/10^n　が整数となるような自然数nの最大値、および

このときの1999!/10^nの1の位の数字は？

解答

・わたしの...

1999/5=399...4

399/5=79...4

79/5=15...4

15/5=3

so...

Max{n}=399+79+15+3=496

1999/2=999...1

999/2=499...1

499/2=249...1

249/2=124...1

124/2=62

62/2=31

31/2=15...1

15/2=7...1

7/2=3...1

3/2=1...1

so...

999+499+249+124+62+31+15+7+3+1=1990

1990-496=1494

2^1494

(3*7*9)^200=(3^3*7)^200

so...

2^1494*3^600*7^200

2-4-8-6-2...4周期

3-9-7-1...3^4≡1

7-9-3-1...7^4≡1

so...

2^1494*3^600*7^200≡2^1494*1*1

1494≡2 mod 4

so...6*2^2=4・・・一位の数字

ね ^^

*答えは合っていたものの、怪しい気がしたもので、友人に解答を送ってもらいました...^^;v

・友人から届いたもの...

*後半の、( )^249 の249がどこから出てきてるのかよくわからなかったり...^^;...?

何れにしても...わたしのはおかしかったですわ...Orz...

15578：因数分解...

問題15578・・・https://www.youtube.com/watch?v=K2K2U929iG4 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

x=3,-2,で与式=0

so...

与式はg(x)=(x+2)(x-3)(x^2+ax+b)

f(0)=48

g(0)=2*-3*(b)=-6*b

so...b=-8

f(2)=24

g(2)=4*-1*(4+2a-8)=24

so...

-4+2a=-6

a=-1

so...

g(x)=(x+2)(x-3)(x^2-x-8)

(2)

(a^2+c^2)c+(b^2+c^2)a+(c^2+a^2)b+2abc

=a^2(b+c)+a(b+c)^2+bc(b+c)

=(b+c)(a+b)(a+c)

・鍵コメT様からのもの Orz〜

問題が見えないのですが，答えから察するに，
(1) (x-4)(x-2)(x+1)(x+3)+24
(2) a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2+8abc
でしょうか．

*最初...問題アップし損ねていたようで、申し訳ございませんでした〜m(_ _)m〜それにしても...よく推測できますものねぇ ^^;...脱帽...^^;;

(1) 因数定理も1つの方法ですが，
{(x-4)(x+3)}{(x-2)(x+1)}+24=(x^2-x-12)(x^2-x-2)+24
=(x^2-x-7)^2-25+24
=(x^2-x-7)^2-1
=(x^2-x-6)(x^2-x-8)
=(x+2)(x-3)(x^2-x-8)
とするのが定番の手法です． 

(2) 書かれている方法が普通ですが，
こちらに因数定理を適用するのもありです．
aに-bを代入すると，与式は-b(b-c)^2+b(c+b)^2-8b^2c=0となるので，
a+bで割り切れます．
対称式だから，a+cやb+cでも割れ切れ，3次式だから，
(与式)=k(a+b)(a+c)(b+c)
となるはずです．
a=b=c=1を代入して，8=8kとなるから，k=1.
よって，(与式)=(a+b)(a+c)(b+c).

*結果からしたら...その方が早かったですね!!

わたしの計算力では多分間違ってしまいそうですけど...^^;...