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相異なる5つの自然数で，その中から2つを選んで積をとると，いずれの積も元の5つの自然数の和で割り切れる，そのような5つの自然数で，なるべく小さい自然数の組みを求めなさい。
解答
・わたしの...
完全数*その約数であれば満たすことに気づきました ^^
6=2*3
1+2+3=6
so...
6,12,18・・・3個の場合
28=2^2*7
28=1+2+4+7+14
so...
28,56,112,196,392 なら満たしますね ^^
これが最小であるかどうかはよくわかりませんが、作り方からすれば最小のはずと思うのだけど...^^;
次の496=2^4*31
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
so..9個の場合...
496,2*496,4*496,8*496,16*496,31*496,62*496,124*496,248*496
が満たしてますね...
↑
嘘でしたわ ^^; Orz...
↓
・鍵コメH様からのなるほどなるもの Orz〜
15,30,45,60,75でも成り立ちますね.
*つまり...
5つの数が、S,2S,3S,4S,5S であれば...
和=S(1+2+3+4+5)=15S
m*S^2/(15S)...S=15のときが最小なのね♪
so...
任意のn個の場合でも作れますのねぇ ^^
ちなみに...
9個のとき...
1+2+...+9=45
45,90,135,180,225,270,315,360,405,450 が満たしているのでした...^^;☆
・上記サイトより、らすかる様のもの Orz〜
5数の合計をsとする。
sがp^(2k-1)で割り切れ、p^(2k)で割り切れないと仮定する。 ただし、pは素数、kは自然数。 5数のうち2数がp^kで割り切れないとすると、その2数の積がp^(2k-1)で 割り切れなくなり仮定に反するので、5数のうち少なくとも4数はp^kで割り切れる。 するとsは5数の合計でsもp^kで割り切れるので、5数すべてがp^kで割り切れる。 このとき、5数すべてをpで割ったものも解になるので、最小性に反し矛盾。 よって素因数分解した時に素数の奇数乗が出てくることはないので、sは平方数。 sがp^(2k)で割り切れ、p^(2k+1)で割り切れないとき、 上と同様に5数すべてがp^kで割り切れる。 よって5数はすべて√sで割り切れる。 5数が相異なることからs≧√s+2√s+3√s+4√s+5√s=15√sとなるので、√s≧15。 従って最小の5数は15,30,45,60,75で合計は15^2=225。 ・鍵コメT様からのもの Orz〜
任意の異なる5つの自然数a,b,c,d,eをとります．
この段階では，例えばabがa+b+c+d+eで割り切れるとは限らず， ab/(a+b+c+d+e),ac/(a+b+c+d+e)など10個の分数のうちには 整数でないものがある可能性がありますが， 10個を通分した時の分母(kとする)を5数すべてに掛ければ， 各分数の値はすべてk倍となり，10個の数はすべて整数となります． 例えば，(1,2,3,4,5)からは， 2/15,3/15,4/15,5/15,6/15,8/15,10/15,12/15,15/15,20/15ができ， 5数をすべて15倍した(15,30,45,60,75)は， どの2つの積も，5数の和15^2の倍数です． このa,b,c,d,eは，条件を満たす5数の比を表しているので，
最小性も含めて，この問題は， 『最大公約数が1である異なる5つの自然数a,b,c,d,eについて，a,b,c,d,eに 「(a,b,c,d,eのうちの異なる2つの積)/(a+b+c+d+e)」の通分結果の分母 を掛けて，できるだけ小さい5つの組を作れ』 という問題に帰着されます． (ちなみに，「なるべく小さい自然数の組」も， 本当は意味がよくわかりません． 例えば{1,2,3,4,7}と{1,2,4,5,6}ではどちらが「小さい」のでしょうか． ただし，以下の考察から分かるように，ほぼいかなる意味に解釈しても [(例)「5数の和が最小」，「5数の最大数が最小」など] 「なるべく小さい自然数の組」は，Hさんの示された15,30,45,60,75です．) 「(a,b,c,d,eのうちの異なる2つの積)/(a+b+c+d+e)」の通分結果の分母
を考察します．これがa+b+c+d+eでないとすると， 「a,b,c,d,eのうちの異なる2つの積」は共通素因数pを持ち， さらに，a+b+c+d+eがpの倍数であることになります．このとき， 「a,b,c,d,eのうちの少なくとも4つ，およびa+b+c+d+eがpの倍数である」 ことが成り立ち，結局a,b,c,d,eはすべてpの倍数となりますが， これはa,b,c,d,eの最大公約数が1であることに反します． よって，5つの自然数の比を指定するとき， その比がa:b:c:d:e (a,b,c,d,eの最大公約数が1)とすれば， 条件を満たす自然数の組として，最小の例 (a(a+b+c+d+e),b(a+b+c+d+e),c(a+b+c+d+e),d(a+b+c+d+e),e(a+b+c+d+e)) が得られることになり，この組を「最小」にするには， {a,b,c,d,e}={1,2,3,4,5}とすることになるのが分かります． *上手い具合に証明なされるものですわねぇ☆
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