15681：証明...正整数 m,n, 1/m+1/(m+1)+...+1/(m+n)は整数でない...^^;

問題15681(友人問)

どのような正整数m,nに対しても、

和

S(m,n)=1/m+1/(m+1)+……..+1/(m+n)

は整数ではないことを示せ。

解答

わからず...^^;

・友人からのもの...

*気づきにくいし...難しぃ...^^;...

・鍵コメT様からのわかりやすい解法 Orz〜☆

同じことですが，「通分」を元に説明することもできます．

分母であるm,m+1,m+2,…,m+nをそれぞれ素因数分解して，
2が何回登場するかを考えます．

例えば2^5で割り切れるものが2つあったとすれば，
その2数は(2^5)*nと(2^5)*(n+1)のように表され，
n,n+1の一方は偶数だから，素因数2の最大個数は「5」ではないはずです．
このように，素因数2を最も多くもつ分母は1つだけのはずです．

すると，1/m,1/(m+1),…,1/(m+n)を通分するとき，
分母は偶数となりますが，
分子は，奇数となるものは1つだけであり，
その和は(奇数)/(偶数)だから整数とはなり得ません．

具体的に考えれば分かりやすいと思います．
例えば「1/7+1/8+1/9+1/10+…+1/15」であれば，
通分したときの分母は(2^3)*(3^2)*5*7*11*13となり，
1/8から得られる分子「(3^2)*5*7*11*13」以外は奇数ですが，
他の分子はすべて偶数となりますね．

*なるほどぉ〜!!

お気に入りぃ〜^^♪