アットランダム≒ブリコラージュ

15701：旧跡...直角二等辺三角形の回転...

問題15701・・・浮浪さまのサイト「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

気づけず...計算...^^;

15700：111...111で、2017の倍数になるものは存在するか？

問題15700・・・http://www.kyoto-be.ne.jp/koukyou/cms/?action=common_download_main&upload_id=15454 より 引用 Orz〜

解答

既出かな...^^;

・わたしの...

フェルマーの小定理から...

10^2016≡1 (mod 2017)

so...

999...999(9が2016個並ぶ)は2017の倍数で、

9と2017とは互いに素なので...

111...111(1が2016個並ぶ)は2017の倍数ね ^^

so...

1が2016の倍数個並んでるものはすべて2017の倍数あるね ^^

・鍵コメT様からのもの Orz〜

小定理を使わなくても，鳩の巣でいけます．
また，問題文にある「2017が素数であること」も使う必要はありません．

1がk個並んだ整数を，k=1,2,3,…,2018について作る．
鳩の巣論法より，これら2018個の整数のうちには，
2017で割った余り(0〜2016の2017通り)が等しいものが存在する．
1がp個並んだ数と1がq個並んだ数(p<q)が，2017で割った余りが等しいとして，
それらの差は「1をq-p個並べ，その後ろに0をp個並べたもの」であり，
これが2017の倍数であること，2017は10と互いに素であることから，
1をq-p個並べたものが条件を満たす．

*なるほどでした ^^;☆

15699：1〜7で、a*b*c*d+e*f*gが素数になるとき,その素数すべて求めよ...

問題15699・・・http://www.kyoto-be.ne.jp/koukyou/cms/?action=common_download_main&upload_id=15454 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

1,5,7

2,4,6

3,6

2*4*6=e*f*g

or

2*4*6*3=a*b*c*d

so...

1*3*5*7+2*4*6=153...だめ

2*4*6*3+1*5*7=179...ビンゴ♪

↑

無駄がありました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

そもそも候補は2つは出てきません．
スモークマンさんの方針も，以下と同じように見えますが，
なぜか2つの場合のチェックをしていますね．

1〜7を{a,b,c,d}と{e,f,g}の2つのグループに分けるとき，
6と2を別グループにすると，式の値は2の倍数で不適．
同様に，6とは3も4も同じグループにするしかないから，
2*3*4*6+1*5*7が唯一の候補．
(この時点で，abcdとefgの一方だけが2の倍数より，式の値は2の倍数でない．
同様に，式の値は3,5,7の倍数でない．)
この式の値は179で，11,13のどちらでも割り切れないから確かに素数．
よって，結論は179. 

*でしたですね ^^;v

15698：1〜15から1枚以上選んだとき,選んだ数のいずれも選んだ個数以上であるような選び方は何通り？...

問題15698・・・http://www.kyoto-be.ne.jp/koukyou/cms/?action=common_download_main&upload_id=15452 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

地道に...^^;

1枚...1〜15...15通り

2枚...2〜15から2枚...14C2=7*13=91

3枚...3〜15から3枚...13C3=13*12*11/6=13*22=286

4枚...4〜15から4枚...

...

so...

15C1+14C2+13C3+12C4+11C5+10C6+9C7+8C8

=15+91+286+495+462+210+36+1

=1596 通り

ね ^^

・鍵コメH様からのもの Orz〜

カードが全部でn枚ある時のカードの選び方は
1枚もカードを選ばない場合も勘定に入れるとフィボナッチ数になります.

*どうしてそうなるのか気づけないけど...^^;

「0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, …（オンライン整数列大辞典の数列 A45）

最初の二項は 0, 1 であり、以後どの項もその直前の2つの項の和となっている」

...wikiより

F(0)=0, F(1)=1,F(3)=2

f(2)=2...2+1=3=F(4)

so...

f(15)+1=F(17)=1597

と求まるのですねぇ ^^

F(17)=[φ^17/√5+1/2]=[1596.999+0.5]=1597

15697：正28角形の平行な2本の対角線の組はいくつ？

問題15697・・・http://www.kyoto-be.ne.jp/koukyou/cms/?action=common_download_main&upload_id=15452 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

偶数なので、対角線は辺に平行...

辺に平行な対角線は...28/2-2=12

so...

14*12C2=14*6*11=924 組 

ね ^^

↑

抜けてましたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

対角線の総数は28*25/2=350(本)で，それらは，
・ある辺と平行な14種類の向きのものがそれぞれ12本と
・1つおきに選んだ2頂点を結ぶ直線と平行な14種類の向きのものがそれぞれ13本
に分類される．

求める2本の対角線の選び方は，
14*(12C2)+14*(13C2)=2016(通り)．

*どうも...思考もアポトーシスだなぁ...^^;;