こんにちは、ゲストさん
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解答
デジャヴー？
・わたしの...
a<b<c
a+b=p^2
a+c=q^2
b+c=r^2
p<q<r
a+b+c=(p^2+q^2+r^2)/2
so...
いずれか一つは偶数 or すべて偶数
c=(-p^2+q^2+r^2)/2
b=(p^2-q^2+r^2)/2
a=(p^2+q^2-r^2)/2
3^2-4^2+5^2=0
3^2+4^2-7^2<0
5^2+6^2-7^2
2^2+4^2-6^2<0
4^2+6^2-8^2<0
so...
a=(5^2+6^2-7^2)/2=6
b=(5^2-6^2+7^2)/2=19
c=(-5^2+6^2+7^2)/2=30
ね ^^
ちなみに、次は...
a=(5^2+8^2-9^2)/2=4
b=(5^2-8^2+9^2)/2=21
c=(-5^2+8^2+9^2)/2=60
かな？
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S(n)を各桁の和とする。
nを正の整数とする。nの最初の桁を除く任意の桁がすぐ左の桁より大きいとき、S(9n)として考えられる値をすべて求めよ。
解答
・わたしの...
間違ってることに気づいたもので...Orz S(9n)=9 になるよう...
理由は...
9n=10n-n
S(9n)は...
例えば、
3570
- 357
-------
下2桁目までは、打ち消しあっているので...
最後の数字m
10m-m の数字の和になっている...
9<9m<81
までで、9の倍数なので...
いずれにせよ、それらの和=9
しかないと言えばいいのかな？ ^^
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解答
・わたしの...
結構ややこし...
調べながらやってみました ^^;v
(11)
(sin2(x-1))'=-2cos2(x-1)
(12)
(tanx)'=(sinx/cosx)'=1+sin^2x/cos^2x=1/cos^2x
so...
2/cos^2x
(13)
3x^2*cos(x^3)
(21)
(tanx)'=(sinx/cosx)'=1+sin^2x/cos^2x=1/cos^2x
so...
-2tanx/cos^2x
(22)
3cosx*sin^2x
(23)
3x^2*sin+x^3*cosx
(31)
cosθ*cos2θ-2sinθ*sin2θ
これは...PCで確認すると...
=cosθ*(3cos(2θ)-2)
=(1/2)(3cos(3θ)-cosθ)
になるようだけど...わからず...^^;
(32)
-sinθ/θ^2+cosθ/θ
(33)
(1/tanθ)'=(cosθ/sinθ)'=-1-cos^2θ/sin^2θ=-1/sin^2θ
so...
(θ/tanθ)'=1/tanθ-θ/sin^2θ
↑
いくつか間違ってましたわ ^^; Orz...
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
(11) (sin2(x-1))'=2cos2(x-1)です．(「-」は付きません．)
(12) (tan x)'=1/(cos x)^2は正しいですが，(tan2x)'=2/(cos2x)^2です． (21) ((tan x)^2)'=2tan x/(cos x)^2です．(「-」は付きません．) (23) (x^3*sin x)'=3x^2*sin x+x^3*cos xです．(sinの後に「x」が必要です．) (13),(22),(31),(32),(33)は正しいです． なお，(31)の結果は， cosθ*cos2θ+sinθ*sin2θ=cosθ，cosθ*cos2θ-sinθ*sin2θ=cos3θ (加法定理) を用いれば式変形ができますが，どちらでもよいと思います． *(12)みたいなのはどうも間違ってしまいます...^^;
(31)は...
cosθ=cos(2θ-θ)=cosθ*cos2θ+sinθ*sin2θ
cos3θ=cos(2θ+θ)=cosθ*cos2θ-sinθ*sin2θ
so...
cosθ*cos2θ=(cosθ+cos3θ)/2
sinθ*sin2θ=(cosθ-cos3θ)/2
so...
cosθ*cos2θ-2sinθ*sin2θ
=(cosθ+cos3θ)/2-2(cosθ-cos3θ)/2
=(1/2)(3cosθ-cosθ)
ってなことなのねぇ☆
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x2≡a (mod p)という2次合同方程式には、解があるときとないときがある。
[定義]ある整数xの平方にmod pで合同な整数を（mod pの）平方剰余と呼ぶ。一方、そうでない整数を（mod pの）平方非剰余と呼ぶ。
[定義]mod pの平方剰余の集合をQRp、mod pの平方非剰余の集合をQNRpと表記する。
[定理]pがいずれの場合も、（QRpに含まれる値の数）＝（QNRpに含まれる値の数）、即ち|QRp|=|QNRp|という関係になる。
そして、|QRp|=(p-1)/2である。 一般の素数pを法とした場合を考える。ただし、p=2のときは自明なので、以降はp≠2とする。すると、pを奇素数なので、p=2s+1と書ける。
このとき、pを法とする平方剰余は、12,22,…,(p-1)2をpで割ったときの余りである。
ところが、p=2s+1≡0により、s+1≡-s,s+2≡-(s-1),s+3≡-(s-2),…,2s≡-1 (mod p)であるため、12,22,…,s2まで考えれば十分である。
[定理]素数p=2s+1を法とする平方剰余は、12,22,…,s2をpで割ったときの余りとして得られる。特に、平方剰余はs個ある。 解答
・上記サイトより Orz〜
[証明]12,22,…,s2をpで割ったときの余りがすべて相異なることを示す必要がある。
1≦m＜n≦sとしたときに、http://s-akademeia.sakura.ne.jp/mimetex/mimetex.cgi?m^2~%5cequiv~n^2~%5c,~%5cpmod{p}と仮定して矛盾を導く。
http://s-akademeia.sakura.ne.jp/mimetex/mimetex.cgi?m^2~%5cequiv~n^2~%5c,~%5cpmod{p}
http://s-akademeia.sakura.ne.jp/mimetex/mimetex.cgi?n^2~-~m^2~%5cequiv~0~%5c,~%5cpmod{p} http://s-akademeia.sakura.ne.jp/mimetex/mimetex.cgi?(n~+~m)(n~-~m)~%5cequiv~0~%5c,~%5cpmod{p} よって、(n+m)(n-m)はpで割り切れる。
つまり、n+m or n-mの少なくとも一方がpで割り切れる。 ここで、1≦m＜n≦sより、0＜n-m＜s、2＜n+m＜2sである。
そのため、n-mもn+mもp(=2s+1)の倍数ではないので、矛盾が生じた。 □ [定理]整数aと素数p=2s+1が互いに素とする。
そのとき、aがpを法として平方剰余であるかないかは、次によって定まる。 (1)http://s-akademeia.sakura.ne.jp/mimetex/mimetex.cgi?a^s~%5cequiv~1~%5c,~%5cpmod{p}⇒aは(pを法とする）平方剰余 (2)http://s-akademeia.sakura.ne.jp/mimetex/mimetex.cgi?a^s~%5cequiv~-1~%5c,~%5cpmod{p}⇒aは(pを法とする）平方非剰余
so...つまり... 平方剰余の個数=非平方剰余の個数=(p-1)/2
になるわけね ^^
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