アットランダム≒ブリコラージュ

15717：多項式の最大公約数,最小公倍数...

問題15717・・・http://www.kyoto-be.ne.jp/koukyou/cms/?action=common_download_main&upload_id=1330 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

x^4+4x^3+7x^2+10x+3-(x^4+3x^3+8x^2+9x+9)

=x^3-x^2+x-6

=(x-2)(x^2+x+3)

(x^4+4x^3+7x^2+10x+3)/(x^2+x+3)=x^2+3x+1

(x^4+3x^3+8x^2+9x+9)/(x^2+x+3)=x^2+2x+3

so...

最大公約数=(x^2+x+3)

最小公倍数=(x^2+x+3)(x^2+3x+1)(x^2+2x+3)

ね ^^

15716：4個のサイコロを投げたときの出目の和を4で割った余り...余りがいくらのときが最も確率が大きい？...

問題15716・・・http://www.kyoto-be.ne.jp/koukyou/cms/?action=common_download_main&upload_id=1330 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

7/2=3.5

so...

3.5*4=14

14/4=3...2

余り 2のときが確率最大のはずあるね ^^

↑

根拠が誤ってました...^^; Orz...

同じ陥穽に陥ってますた...^^;;

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

正しい結論ですが，理由は変だと思います．

「4で割った余り」の代わりに「3で割った余り」についての問題であれば，
当然ながら，「余り0,1,2はどれも等確率」が結論です．

*なるほど!! 納得でっす ^^;v

「期待値が14だから，余り2が他よりも確率が大きい」わけではありません．

なお，問題15218です．

https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=15218&sk=0 ;参照

*なかなか難しあるね...^^;...

15715：m^2+n^2=2(m+n)+mn...整数解(m,n)は？

問題15715・・・http://www.kyoto-be.ne.jp/koukyou/cms/?action=common_download_main&upload_id=15939 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(m+n)^2-2(m+n)=3mn

(m+n)(m+n-2)=3mn

m+nがmの倍数とすると...

m+n=3m...n=2m

3m(3m-2)=6m^2

3m-2=2m...m=2,n=4...(m,n)=(2,4),(4,2)

m+n=mnなら、

m+n-2=3

m+n=5

mn=5...なし

m+n-2=mnなら

m+n=3

mn=1...なし

m+nがnの倍数とすると...

m+n=n...m=0,n=2...(m,n)=(0,2),(2,0)

でいいのかな...^^

↑

不十分でしたぁ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(m,n)=(0,0),(4,4)が欠落しています．
問題15213です．

https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=15213&sk=0 参照

*身についてない...^^;...

15714：正の整数x,y,f(xy)=f(x)+f(y)-1,f(x)=1を満たすxは有限個,f(30)=4のとき、f(14400)=?...

問題15714・・・http://www.kyoto-be.ne.jp/koukyou/cms/?action=common_download_main&upload_id=15454 より 引用 Orz〜

解答

f(1)=1から、とんとよくわからず...^^;

・上記サイトより Orz〜

*パズルみたいねぇ ^^;

15713：Ｓ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},T={(a,b,c,d)|a∈Ｓ,b∈Ｓ,c∈Ｓ,d∈Ｓ,3a≦b＋c＋d＋10}...Tの要素の個数は？

問題15713・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38354991.html より Orz〜

　集合Ｓ，集合Ｔを Ｓ＝｛0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝，

　Ｔ＝｛(a，b，c，d)|a∈Ｓ，b∈Ｓ，c∈Ｓ，d∈Ｓ，3a≦b＋c＋d＋10｝ とするとき、

　集合Ｔの要素の個数は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38364944.html より Orz〜

[参考]

　例えば、３つの負でない整数の和が 10以下の場合の数は、

　○○○○○○○○○○ の間または両端から重複を許して３個を選び、

　そこに区切りを入れれば ○○○|○|○○○○|○○ のようになり、

　各区切りまでの○の個数を数えれば ３＋１＋４ になりますので、₁₁Ｈ₃ です。

　このように、３つの負でない整数の和がｎ以下の場合の数は、_n+1Ｈ₃＝(n＋1)(n＋2)(n＋3)/6 です。

　一般に、負でない整数ｒ個の和がｎ以下になる場合の数は _n+1Ｈ_r です。


[解答]

　全体集合Ｕ＝｛(a，b，c，d)|a∈Ｓ，b∈Ｓ，c∈Ｓ，d∈Ｓ｝ とすれば、

　Ｕの要素の個数は 11⁴＝14641 個で、

　Ｔの補集合｛(a，b，c，d)|(a，b，c，d)∈Ｕ，3a＞b＋c＋d＋10｝の要素の個数を求めます。

　b＋c＋d＜3a−10 、b＋c＋d≦3a−11 ですので、

　4≦a≦10 において、負でない整数３個の和が(3a−11)以下になる場合の数は 

　(3a−10)(3a−9)(3a−8)/6＝(a−3)(3a−10)(3a−8)/2 で、

　1･2･4/2＋2･5･7/2＋3･8･10/2＋4･11･13/2＋5･14･16/2＋6･17･19/2＋7･20･22/2

　 ＝4＋35＋120＋286＋560＋969＋1540＝3514 、

　b≧11 のとき (b−11)＋c＋d≦3a−22 ですので、

　8≦a≦10 において、負でない整数３個の和が(3a−22)以下になる場合の数は 

　(3a−21)(3a−20)(3a−19)/6＝(a−7)(3a−20)(3a−19)/2 です。

　c≧11，d≧11 のときも同様で、11以上の整数を含む場合の数は、3(a−7)(3a−20)(3a−19)/2 で、

　3･1･4･5/2＋3･2･7･8/2＋3･3･10･11/2＝30＋168＋495＝693 、

　よって、Ｔの補集合の要素の個数は 3514−693＝2821 です。

　また、Ｔの要素の数は、14641−2821＝11820 です。


[参考]

　Ｓ＝｛0，1，2，……，n｝，Ｔ＝｛(a，b，c，d)|a∈Ｓ，b∈Ｓ，c∈Ｓ，d∈Ｓ，3a≦b＋c＋d＋n｝ のとき、

　集合Ｔの要素の個数は [(59n⁴＋226n³＋329n²＋210n＋72)/72] です。

*よくわからず...訳の分からぬことを考えてましたぁ ^^;;

[参考]はわかりやすいですね♪

3a≦b＋c＋d＋10
(a-b)+(a-c)+(a-d)<=10
で、(a,b,c,d)という組みを要素と考えるので、a,b,c,dの並びが変わっていても異なるとして考える…

a=0〜4は、b,c,dは何でも構わない…・・・5*10*9*8
a=5
(a-b)>(a-c)>(a-d)
5〜-5…0を除いた10個から3個選んだら、順番に並べて、b,c,dが決まる…最後に、3!倍する…
So…10C3
a=6…6〜-4
a=7…7〜-3
…
a=10…10〜1
と同じく、10C3
So…
6*10C3*3!+5*10*9*8
=6*120*6+5*10*9*8
=7920個…^^;…
これが…a,b,c,dの並びが異なる場合は同じものとすると…
難儀なことに思えちゃう…^^;...