アットランダム≒ブリコラージュ

15784：サイコロA,B,Cの目の積が6の倍数になる出方は何通り？

問題15784・・・浮浪様のサイト「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

シンプルでもちと考えたり...^^;

15783：旧跡...長方形内の正三角形...

問題15783・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38373848.html#38373848 より Orz〜

　長方形ABCDの 辺AB上に点P，辺AD上に点Q をとって、正三角形PCQを作ります。

　△APQ＝96 ，△PCQ＝182 ，△PBC＝S ，△CDQ＝T として、(S，T)＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38385180.html より Orz〜

[解答1]

　AD＝BC＝2x，BP＝2y とすれば、C を中心とする右回りの 60ﾟ の回転で P が Q に移るので、

　(−2x＋2yi)(cos60ﾟ−i･sin60ﾟ)＝(−x＋yi)(1−i√3)＝−x＋y√3＋(x√3＋y)i だから、

　複素平面上で C を原点と考えれば、QD＝x−y√3 ，AB＝CD＝x√3＋y になります。

　△APQ＝(AB−BP)(AD−QD)/2＝(x√3−y)(x＋y√3)/2＝(x²−y²)(√3)/2＋xy 、

　△PCQ＝PC²(√3)/4＝(BC²＋BP²)(√3)/4＝(4x²＋4y²)(√3)/4＝(x²＋y²)√3 、

　よって、(x²−y²)(√3)/2＋xy＝96 ，(x²＋y²)√3＝182 です。

　S＝△PBC＝BC･BP/2＝2x･2y/2＝2xy ，

　T＝△CDQ＝CD･QD/2＝(x√3＋y)(x−y√3)/2＝(x²−y²)(√3)/2−xy 、

　よって、S＋T＝(x²−y²)(√3)/2＋xy＝96 です。

　また、S＋2T＝(x²−y²)√3 より、

　(S＋2T)²＝3(x²−y²)²＝3(x²＋y²)²−12x²y²＝182²−3S² 、

　S²＋4ST＋4T²＝182²−3S² 、4S²＋4ST＋4T²＝182² 、S²＋ST＋T²＝91² 、

　ST＝(S＋T)²−(S²＋ST＋T²)＝96²−91²＝187･5＝11･17･5 、

　X＝S，T となる２次方程式は、X²−96X＋11･17･5＝0 、(X−11)(X−85)＝0 だから、

　(S，T)＝(11，85)，(85，11) になります。


[解答2]

　図のように、辺KL上に点P，辺KM上に点Q，辺LM上に辺BCがあるように 正三角形KLMを描けば、

　△KPQ≡△LCP≡△MQC になり、KP＝LC＝MQ＝2a ，PL＝CM＝QK＝2b とすれば、

　AD＝BC＝2a−b ，QD＝a−2b です。

　また、KLとADの交点をNとすれば、NQ＝2b ，AN＝a−b です。

　△KPQ：△PCQ＝△KPQ：(△KLM−3△KPQ)＝2a･2b：｛(2a＋2b)²−3･2a･2b｝

　 ＝4ab：(4a²−4ab＋4b²)＝2ab：(2a²−2ab＋2b²) 、

　△LCP：△BPL＝LC：LB＝2a：b＝2ab：b² 、

　△BPL：△APN＝BL²：AN²＝b²：(a−b)² 、

　△APN：△APQ＝AN：AQ＝(a−b)：(a＋b)＝(a−b)²：(a−b)(a＋b) 、

　よって、△LCP：△BPL：△APN：△APQ＝2ab：b²：(a−b)²：(a−b)(a＋b) 、

　△LCP：△PBC＝LC：BC＝2a：(2a−b)＝2ab：(2a−b)b 、

　△MQC：△CDQ＝CM：QD＝2b：(a−2b)＝2ab：a(a−2b) 、

　△KPQ＝△LCP＝△MQC より、

　△PCQ：△APQ：△PBC：△CDQ＝(2a²−2ab＋2b²)：(a−b)(a＋b)：(2a−b)b：a(a−2b) 、

　182：96：S：T＝(2a²−2ab＋2b²)：(a²−b²)：(2a−b)b：a(a−2b) です。

　182：96＝(2a²−2ab＋2b²)：(a²−b²) より、

　96(2a²−2ab＋2b²)＝182(a²−b²) 、48(2a²−2ab＋2b²)＝91(a²−b²) 、

　5a²−96ab＋187b²＝0 、(a−17b)(5a−11b)＝0 、a＝17b，11b/5 です。

　96：S：T＝(a²−b²)：(2a−b)b：a(a−2b) だから、

　a＝17b のとき、96：S：T＝288b²：33b²：255b²＝96：11：85 、

　a＝11b/5 のとき、96：S：T＝96b²/25：17b²/5：11b²/25＝96：85：11 、

　(S，T)＝(11，85)，(85，11) になります。

*これはPCの力を借りて...なんとか ^^;v

[解答1]もどきでした...

AP=x,AQ=y
xy=192,√3(x^2+y^2)=728, 
角AQP=α,角APQ=β
S=((x^2+y^2)/2)cos(60-α)*sin(60-β)
=(√3*x+y)(√3*y-x)/8=?
で計算させました Orz
?=11,85
so...図からすると...
(S,T)=(11,85)