2018年03月06日の記事一覧 - 詳細表示

15640：天秤３回で,13個の金貨から1個の偽物を見つける...有名? ^^

問題15640・・・http://quiz-tairiku.com/math/q2.html#q10 より引用 Orz～

全く同じ形をした１３個の金貨がある。
見た目や持った感じでは分からないが、
そのうち１個はニセモノである。
上皿てんびんを３回だけ使って、
そのニセモノを判別してほしい。

＊ただし、ニセモノは本物より重いのか軽いのか分からない。

解答

・わたしの...

(1)3=3

どちらかの3枚と残りの4枚のうちの3枚を載せる

3=(3)

なら、残りの1枚が偽物で、他の1枚と比べれば、軽重も知れる

3<(3)なら、この場合は偽物は重いことが知れる...

(3)の中の2枚で比べる...((1))=((1))なら、(3)の残りが偽物

((1))<((1))なら、重い方が偽物

(2)

3<(3)のとき、

残ってる4枚のうちのどれでもいいから((3))枚と、どちらかの3枚と比べる...

(3)=((3)) なら、最初の軽かった方の3枚の中にあるので、

その中の2枚を比べれば、釣り合えば残りの1枚が軽い偽物

釣り合わなければ、軽い方が偽物とわかりますね ^^

(3)<((3))なら、

(3)の方に軽いものがあることがわかり、あとは同じ。

軽いか重いかの違いだけなので、すべてを考えたことになりますから、

3回で、軽重も含めて偽金貨は見つけられました ^^

↑

10枚で考えてましたわ ^^; Orz...

so...

再考...

↓

4-4-5 に分けて、

(11)4=4 のとき...残りの(5枚)から4枚選ぶ

　(12)4=(4)のとき...残りの1枚は...

　　(13)1<(1) で、軽重含め判明

(21)4<4 のとき...

残りの(5枚)は本物...

　(22)左3枚+右2枚=残り(5枚)...

右の2枚を比べて等しければ、左の除いた1枚が軽いことがわかり

　　　　　右の2枚を比べて重ければそれが偽物とわかる　　

　(22')左3枚+右2枚<残り(5枚)...左3枚の中に軽いものがあることがわかり、

(22")左3枚+右2枚>残り(5枚)...右2枚の中に重いものがあるので、

その2枚を比べればわかる...

後半、試行錯誤で、残り2 or 3枚でわかるように、非対称に載せることを考えてみました ^^

↑

抜けがありましたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

1回目に釣り合わなかった場合はこれでOKですが，
釣り合った場合はこれではダメです．
残りの(5枚)から選んだ4枚を選び，本物と判明した4枚と比べるのでは，
釣り合わなかった場合に，ニセモノ候補が4枚残り，
あと1回の測定では，どれがニセモノかを判断することはできません．

実は，この問題では，3回の測定によってどれがニセモノか判断できますが，
そのニセモノが本物より重いか軽いかについて特定する手段はないと思います．

「てんびん1回では3通りの結果しかあり得ない」ことが重要なポイントです．
1回目の測定で5個ずつまたは6個ずつの重さを比べると，
釣り合わなかった場合に少なくとも10個のニセモノ候補が残り，
2回の測定では3^2=9(通り)しか分別ができないことから失敗が確定します．
1回目の測定で3個ずつまでの重さを比べると，
釣り合った場合に少なくとも7個のニセモノ候補が残ります．このうち，
・2回目にてんびんにのせたものは，釣り合わない場合にニセモノ候補のまま，
・2回目にてんびんにのせなかったものは，釣り合う場合にニセモノ候補のまま
だから，そのどちらかは4個以上になり，残り1回では分別は不可能です．

ということで，1回目は4個ずつの重さを比べるしかありません．

ここで釣り合わなかった場合は，本物が5枚確定し(OOOOOとする)
重いニセモノ候補4個(ABCDとする)と軽いニセモノ候補4個(abcdとする)
が残り，8通りなのでやや余裕があります．
スモークマンさんの方法でもよいですし，
「ABabとCcOOを比べる」といった方法も可能です．
要するに，どんな結果になっても
可能な場合が3通りまでしかないようにすればよいです．

問題は釣り合った場合です．本物候補は8枚確定しますが，
重いか軽いかわからないニセモノ候補が5枚残り，10通りの場合があり得ます．
(これが3^2より多いので，あと2回で完全に判断はできません．)

ニセモノを選ぶだけなら，次のようにできます．
(釣り合わなかったときに残るニセモノ候補を3つにするのがポイントです)

[2回目] ニセモノ候補をpqrst，本物をOOOOOOOOとしてpqrとOOOを比べる．
・釣り合わないときは，3回目にpとqを比べればよい．
・釣り合ったときは(4通りが残っていることに注意)，3回目にsとOを比べ，
釣り合わなければs，釣り合えばtがニセモノ．

3回とも釣り合った場合は，ニセモノはtに確定しますが，
それが本物よりも重いか軽いかは不明です．・・・たしかに...これは不明ですねぇ...^^;

*こういう問題は、子供に...実際に天秤を使ったりして考えさせてやりたくなりますね ^^v

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15639：長針と短針との区別がつかない時計...^^;

往診先のグループホームで見つけた曼荼羅 ^^

問題15639・・・http://quiz-tairiku.com/math/q9.html#q42 より引用 Orz～

長針と短針の長さ・色・形状が全く同じ時計があります。

（秒針はありません）

このような時計でも、２本の針の位置を正確に把握すれば、
ほとんどの場合、正確な時刻を特定することができます。
それでは、この時計で、２本の針の位置を正確に特定できたとしても、
正確な時刻を特定できないのは、
午前０時から正午までの１２時間に何回あるでしょうか？

解答

デジャヴー？

・わたしの...

しばらく見てれば、早く動く方が長針とわかるのですべてわかりそうだけど ^^;

止まってる時の時刻を判定するとして...

外は昼か夜かわからないとして...

左右対称の位置のときだけはわからないですね...

0-1

1-2

...

11-0

のそれぞれ1回ずつ...so...12回

a時b分・・・30a+0.5b=360-6b

0時・・・b=360/6.5

角度=360-6*360/6.5=360/13=(27+9/13)°

360-(30*11+0.5*(360/13)/6)=30-30/13=(27+9/13)°となる対称の時刻は存在する

ここを、きちんと上手く言えますかいねぇ...^^;

*全然違ってた...^^;;

*上記サイトより Orz～

長針は短針の12倍の速さで進みますので、
午前0時に針がそろってからの長針の位置は、
短針が進んだ角度の12倍の角度のところにあります。
つまり短針の進んだ角度をａ度、長針の進んだ角度をｂ度とすると、
　１２ａ＝ｂ　……①
となります。

ところで、どちらか一方の針の角度の12倍のところにもう一方の針があって、さらにその針の角度の12倍のところに最初の針があるという場合は、長針と短針の区別ができなくなってしまいます。
すなわち、
　１２ｂ＝ａ＋３６０×ｎ（ｎは正の整数）　……②
となるときです。

①、②より、
　ａ／３６０＝ｎ／１４３　……③
という関係が成り立ちます。

ここで、ａは０以上、３６０以下（短針は午前０時から正午までに１回転）なので、左辺は０以上、１以下となり、③を満たすｎは１４４個（ｎ＝０を含む）あります。
ただし、ｎが０のとき（午前０時）、ｎが１４３のとき（正午）、また、それ以外で午前０時から正午の間に長針と短針が重なる１０回については、①と②を満たす場合でも時刻は分かります。
したがって、１４４から上記の１２回を除いた１３２回、
時刻の判断できない場合があります。

*意味はわかったけど...左右対称の時もわからないはずだけどなぁ...?

・鍵コメT様から頂戴した解説ぅ～Orz～♪

例えば0時と1時の間で「対称の位置」となるのは，
0時を基準に，短針がx°，長針が12x°進んだとして，x+12x=360となる場合
であり，x=360/13.
短針は1時間に30°進むから，0時の12/13時間後であり，
「0時360/6.5分」で正しいです．
これは，サイトの解答で，a=360/13のときであり，
「a/360=n/143」においてn=11のときに相当します．
つまり，「対称の位置」の場合もサイトの解答は含んでいて，
それ以外の場合も含めて考察した解答と言えます．

なお，12時間ではなく24時間の場合が，問題14247です．

https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=14247&sk=0

*なるほど☆

１２ｂ＝ａ＋３６０×ｎ

このことに気付けるかが肝でした ^^;v

ａ／３６０＝ｎ／１４３

から、実際の時刻を求めてみた...^^

例えば、0時台の場合は...

n=0・・・0時

n=1・・・12/143時=(5+5/143)分・・・1時60/143分　の区別がつかない...

n=2・・・24/143時=(10+10/143)分・・・2時120/143分

...

n=11・・・12/13時=(55+5/13)分・・・11時60/13分

で、短針と長針は360/(6-0.5)=720/11分=12/11時間毎に重なるので...

0時台の時刻に12/11時間を加えていった時刻が判定不能な時刻になるのですわね...?

例えば、1時台は...

12/143時+12/11時=168/143=1時(10+70/143)分・・・1時60/143分+(1時間60/11)分=2時(5+125/143)分　の区別がつかない...

24/143+12/11=180/143時=1時(15+75/143)分・・・2時120/143分+(1時間60/11)分=3時(6+42/143)分

...

12/13+12/11=288/143=2時120/143分・・・11時60/13分+(1時間60/11)分=0時(10+10/143)分

みたいになりそうね ^^

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15638：N角形の対角線同士の交点の個数は？...有名ね ^^

桜の蕾...膨らんできてるよな ^^

撫でる風まだ冷し...

but...泉湧くようなわたしの鼻かなりまし ^^;v

問題15638・・・http://quiz-tairiku.com/math/q10.html#q50 より引用 Orz～

N角形の対角線の本数と、対角線同士の交点の数を求めよ。

ただし、
・Nは4以上
・全ての内角は180°未満
・同じ点で3本以上の対角線は交わらない

解答

・わたしの...

対角線はn点から2点の取り方...

so...

nC2=n(n-1)/2

□の対角線で交点1個

so...

nC4=n(n-1)(n-2)(n-3)/4!

↑

対角線の数がおかしかったわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

交点の個数は正しいです．

対角線の本数ですが，「nC2」では，対角線ではない辺まで数えています．
正しくは，nC2-n=n(n-3)/2(本)です．

「各頂点から対角線がn-3本出ていて，n頂点でのべn(n-3)本．
2回ずつ数えたので，求める数はn(n-3)/2．」
のようにしてもよいです，

**でしたわ...^^;

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15637：微分...復習 ^^

問題15637・・・http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/bibun-06.html より引用 Orz～

解答

・わたしの...

(1)

x^2=X

2x*dx=dX

2x=dX/dx

dy/dX=(logX)'=1/X

dy/dx=(dy/dX)(dX/dx)=(1/X)*2x=2x/x^2=2/x

(2)

dX/dx=cosx

dy/dX=1/sinx

so...

xy/dx=cosx/sinx

(3)

dX/dx=2x/√(x^2+a^2)

dy/dx=(1/√(x^2+a^2))*(2x/√(x^2+a^2))=2x/(x^2+a^2)

(4)

y=log(x-a)-log(x+a)

dy/dx=1/(x-a)-1/(x+a)=-2a/(x^2-a^2)

(5)

dy/dx=logx+x/x=logx+1

(6)

y=log(sin(x/2))-log(cos(x/2))

dy/dx=cos(x/2)/(2sin(x/2))+sin(x/2)/(2cos(x/2))

=1/sinx

だと思う...^^

↑

微妙に?間違ってます ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

(2) 正しいですが，最後の行は，「xy/dx=」ではなく「dy/dx=」ですね．

(3) X=√(x^2+a^2)=(x^2+a^2)^(1/2)とおくと，
dX/dx=2x*(1/2)(x^2+a^2)^(-1/2)=x/√(x^2+a^2)となります．
dy/dx=(x/√(x^2+a^2))/√(x^2+a^2)=x/(x^2+a^2)ですね．
y=(1/2)log(x^2+a^2)としてから計算する方法も有力です．・・・そっか!!...これでしたね♪

(4) 前提として(x-a)/(x+a)>0だから，x<-|a|,|a|<xのいずれかです．
x-aやx+aは正とは限らず，「y=log(x-a)-log(x+a)」は少々問題があります．
(x<-|a|の場合についてはy=log(-x+a)-log(-x-a)が正しくなります．)

この影響は次の段階では消えてしまい，
「dy/dx=1/(x-a)-1/(x+a)」は正しいですが，
最終結論は，(「-」はなくて，)2a/(x^2-a^2)となります．

(6) これも，sin(x/2),cos(x/2)の符号について少々問題があります．
最終結論は正しいです．

*パズルのようで面白いけど...ナイーヴに扱わなきゃいけませんのね...☆

ナイーヴと言えば...uchinyanさんのフレーズを思い出しました...

貴殿がお元気であられることを願ってます～m(_ _)m～v

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15636：数列の和...

問題15636・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38330881.html#38330881 より Orz～

　_n-1
　 Σ(n＋1－k)/2^k＝n/2＋(n－1)/2²＋(n－2)/2³＋(n－3)/2⁴＋……＋2/2^n-1＝152 を満たす自然数ｎについて、
　^k=1
　約分しないときの分子の和　n＋(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋……＋2＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38340834.html より Orz～

[解答1]

　n/2＋(n－1)/2²＋(n－2)/2³＋(n－3)/2⁴＋……＋2/2^n-1＝152 より、

　n/2²＋(n－1)/2³＋(n－2)/2⁴＋(n－3)/2⁵＋……＋2/2ⁿ＝76 、

　辺々減じて、n/2－1/2²－1/2³－1/2⁴－1/2⁵－……－1/2^n-1－2/2ⁿ＝76 、n/2－1/2＝76 、n＝153 、

　約分しないときの分子の和は　153＋152＋151＋150＋……＋2＝(153＋2)･152/2＝11780 です。

[解答2]

　1/2 ，
　1/2 ，1/2² ，
　1/2 ，1/2² ，1/2³ ，
　1/2 ，1/2² ，1/2³ ，1/2⁴ ，
　1/2 ，1/2² ，1/2³ ，1/2⁴ ，1/2⁵ ，
　1/2 ，1/2² ，1/2³ ，1/2⁴ ，1/2⁵ ，1/2⁶ ，
　1/2 ，1/2² ，1/2³ ，1/2⁴ ，1/2⁵ ，1/2⁶ ，1/2⁷ ，
　1/2 ，1/2² ，1/2³ ，1/2⁴ ，1/2⁵ ，1/2⁶ ，1/2⁷ ，1/2⁸ ，
　………

　と、並べれば、

　1行目の1番目～2行目の1番目，2行目の2番目～3行目の2番目，3行目の3番目～4行目の3番目，……、

　一般に k行目のk番目～(k＋1)行目のk番目の和がすべて１になるので、

　1行目の1番目～153行目の152番目を加えれば 152 になります。

　分子はすべて１なので、約分しないときの分子の和は、

　(1＋2＋3＋4＋……＋152)＋152＝152･153/2＋152＝152･155/2＝11780 です。

*[解答1]はシンプルで気づくべきでしたわ ^^;☆

n*2^n
=2n*2^(n-1)
=(n+1)*2^(n-1)+(n-1)*2^(n-1)
=(n+1)*2^(n-1)+n*2^(n-2)+…+3*2+2*1

so…
n=(n+1)/2+n/2^2+…+2/2^n
so…
152=n-1
n=153
so…
153+152+…+2=(153+2)*152/2=11780

アットランダム≒ブリコラージュ

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