アットランダム≒ブリコラージュ

16265：バウムクーヘンのある角度できると交互に面積が等しくなる...

問題16265・・・浮浪様のサイト「浮浪の館」http://www.geocities.jp/hagure874/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

うまい発想があるのねぇ ^^☆

16264：整数部分の和と和の整数部分...

問題16264・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38459739.html より Orz〜

　ガウス記号を用いて、f(x)＝x−10[x/10] と定義します。

　Σを k＝1 から 360 の和を表すものとして、

　Σ[f((2＋√3)^k)]＝？　また、[Σf((2＋√3)^k)]＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38469321.html より Orz〜

　x≧0 のとき、f(x) は x の10の位以上を除いたものを表し、0≦f(x)＜10 です。

　a_n＝(2＋√3)ⁿ＋(2−√3)ⁿ とすれば、a₁＝4 ，a₂＝14 です。

　2±√3 は x²＝4x−1 の解なので、複号同順で、

　(2±√3)²＝4(2±√3)−1 、(2±√3)ⁿ⁺²＝4(2±√3)ⁿ⁺¹−(2±√3)ⁿ 、

　(2＋√3)ⁿ⁺²＝4(2＋√3)ⁿ⁺¹−(2＋√3)ⁿ ，(2−√3)ⁿ⁺²＝4(2−√3)ⁿ⁺¹−(2−√3)ⁿ を 辺々加えて、

　a_n+2＝4a_n+1−a_n で、a_n はすべて自然数です。

　a₁＝4 ，a₂≡4 ，a_n+2≡4a_n+1−a_n (mod 10) だから、

　n＝1，2，3，4，5，6，…… について、a_n の１の位は 4，4，2，4，4，2，…… です。

　0＜(2−√3)ⁿ＜1 だから、[f((2＋√3)ⁿ)] は 3，3，1，3，3，1，…… で、

　360＝3･120 なので、Σ[f((2＋√3)^k)]＝(3＋3＋1)･120＝840 です。

　次に、0＜Σ(2−√3)^k)＜(2−√3)/｛1−(2−√3)｝＝(2−√3)/(√3−1)＜1 なので、

　[Σf((2＋√3)^k)]＝(4＋4＋2)･120−1＝1199 になります。

*そっかぁ〜〜〜^^;☆

>a_n+2＝4a_n+1−a_n 

この漸化式を解けばいいはずと思いながら難攻不落ですた...^^;;

こういう応用問題が解けるようになりたいわ!!

deep learning...活かせない...わたしの学習はどうも...cheap...だわ ^^;;