アットランダム≒ブリコラージュ

16269：a+b+c=4,a^2+b^2+c^2=6,a^3+b^3+c^3=7...F(n)=a^n+b^n+c^n, F(4)〜F(10)を求めよ...

問題16269・・・出会いの泉より http://6626.teacup.com/shochandas/bbs/15611 GAI様提示問 Orz〜

a+b+c=4
a^2+b^2+c^2=6
a^3+b^3+c^3=7
であるとき
F(n)=a^n+b^n+c^nとする。
F(4),F(5),･･･,F(10)の値を求む。

また
自然数p<q<r≦10で
a+b+c=p
a^2+b^2+c^2=q
a^3+b^3+c^3=r
であるとき
F(4),F(5),･･･,F(10)がすべて整数になるための(p,q,r)の組み合わせは何か？

解答

・上記サイトより、らすかる様のもの Orz〜

a+b+c=p
q=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=p^2-2(ab+bc+ca)から
ab+bc+ca=(p^2-q)/2
r=a^3+b^3+c^3=(a+b+c){(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)}+3abc
=p{p^2-3(p^2-q)/2}+3abcから
abc=(p^3-3pq+2r)/6
また
F(n)=(a+b+c)F(n-1)-(ab+bc+ca)F(n-2)+abcF(n-3)
=pF(n-1)-{(p^2-q)/2}F(n-2)+{(p^3-3pq+2r)/6}F(n-3)

*t^3-(a+b+c)*t^2+(ab+bc+ca)*t-abc=0 の根がa,b,cだから...

F(n)=(a+b+c)*F(n-1)-(ab+bc+ca)*F(n-2)+abc*F(n-3) ね ^^

p=4,q=6,r=7のときはa+b+c=4,ab+bc+ca=5,abc=1なので
漸化式F(n)=4F(n-1)-5F(n-2)+F(n-3)により全解を得る。

(mod3)
p^3-3pq+2rが3の倍数でないとすると
F(n-3)が3の倍数でなければならないので
pもqもrも3の倍数でなければならない。
よってp^3-3pq+2rも3の倍数となり矛盾。
従ってp^3-3pq+2rは3の倍数である必要があるので、
p^3+2rが3の倍数でなければならない。

(mod2)
pとqの偶奇が等しい場合p^2-qとp^3-3pqは偶数なので条件を満たす。
pが奇数、qが偶数の場合はp^2-qとp^3-3pqは奇数なので
F(n-2)とF(n-3)の偶奇が等しくなければならないが、
pが奇数、qが偶数なので矛盾。
pが偶数、qが奇数の場合はp^2-qは奇数、p^3-3pqは偶数なので
F(n-2)が偶数でなければならないが、qが奇数なので矛盾。
従ってpとqの偶奇が等しくなければならない。

以上をまとめると、F(10)まで整数であるための必要十分条件は
p≡q(mod2) かつ p≡r(mod3)

1≦p＜q＜r≦10ならば
(p,q,r)=(1,3,4),(1,3,7),(1,3,10),(1,5,7),(1,5,10),(1,7,10),(1,9,10),
(2,4,5),(2,4,8),(2,6,8),(3,5,6),(3,5,9),(3,7,9),(4,6,7),(4,6,10),
(4,8,10),(5,7,8),(6,8,9),(7,9,10)
の19組。

*あな恐ろしや ^^;☆

16268：宅配便の箱と中身の表面積の大小...

問題16268・・・出会いの泉より http://6626.teacup.com/shochandas/bbs? ハンニバル・フォーチュン様紹介問 Orz〜

（宅配で）ａ×ｂ×ｃの直方体をｘ×ｙ×ｚの箱にはみ出さないように入れて送ります。このとき
ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ≦ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ
であることを示せ。

解答

・わたしの...

小さい方をラップで包むとき最小の面積は2(ab+bc+ca)

これを斜めにして、ある一面にはピタリとラップを貼り付けることを考えたら、小さい方の面はその面での大きな長方形の各辺に接してる...

so...その面をabとすると大きなラップの面積はそれよりも明らかに大きく、

その面に垂直な直方体で包むことを考えると、最初の面のa,bを底辺にしてそれぞれ△の残りの2辺の和(x+y)の方が長いので他の面の面積も(a+b)c<2(x+y)cとなる...2面を傾けた大きな包み方では、より大きくなる...

みたいなことじゃダメかしらん...^^;

or...

小さい包の中に1点の光源があると考えたら...

外側に広がるので、その外側の壁はすべて光るが...

外側だから、面積は小さいわけがない...ってのはどうでっしゃろ...^^;

16267：|x|+|y|+|z|<=n をみたす整数x,y,zの組の個数は？

問題16267(友人問)

|x|+|y|+|z|<=n　をみたす整数x,y,zの組の総数Nを求めよ。

ただし、nは正の整数とする。

解答

・わたしの...

2個の正四角錐内の格子点の個数...^^

底面...

4(((n+1)^2-(n+1))/2+(n-1)-(2n-1))+4n+1

=2n^2+2n+1

so...1段ずつでk=(n-1)〜0 まで...

Σ(k=0〜(n-1))(2k^2+2k+1)

=((n-1)n(2n-1)/3+n(n-1)+n

=(2n^3+n)/3

so...この２倍に底面の個数を加えれば...

2*(2n^3+n)/3+2n^2+2n+1

=(1/3)(2n+1)(2n^2+2n+3)

ですね ^^

16266：ライバル同士が1ペア以下になるような2グループの分け方...?

問題16266・・・https://sist8.com/rival より 引用 Orz〜

幼女たちには、1名につき最大3人のライバルがいる。

「AのライバルがB」なら「BのライバルもA」になる。

いま、この幼女たちを2グループに分けて、どの幼女も「同じグループ内にいるライバルは最大1人」という状態にしたい。

幼女たちをどのようにグループ分けすればよいだろうか？

解答

人数書いてないけど...?

4人なら、2-2に分けられますけどね...^^;