アットランダム≒ブリコラージュ

16285：a+b≡4,ab≡2 (mod 7)...a^3;b^3≡？

問題16285・・・http://21.xmbs.jp/shindou-6166-n3.php?guid=on&page=4&view=1 より 引用 Orz〜

a,bを正の整数とするとき,a+bとabを7で割ると余りが,それぞれ4と2であった.このとき,a^3+b^3を7で割った余りを求めよ.

解答

・わたしの...

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

=(a+b)((a+b)^2-3ab)

≡4*(4^2-3*2)

=40

≡5 (mod 7)

^^

16284：証明...a^2-3b^2が3の倍数なら,a,b共に3の倍数である...

問題16284・・・http://21.xmbs.jp/shindou-6166-n3.php?guid=on&page=4&view=1 より 引用 Orz〜

a^2-2b^2が3の倍数であるような整数a,bはともに3の倍数であることを示せ.

解答

・わたしの...

3a^2-3b^2は3の倍数

(3a^2-3b^2)-3*(a^2-2b^2)

=4b^2 も3の倍数...bは3の倍数

a^2=3の倍数+2*b^2=3の倍数

so...

aも3の倍数

^^

16283：証明...4n^3+6n^2+2nは12の倍数である...

問題16283・・・http://21.xmbs.jp/shindou-6166-n3.php?guid=on&page=4&view=1 より 引用 Orz〜

自然数nに対して,次のことが成立することを示せ.
4n^3+6n^2+2nは12の倍数である.

解答

・わたしの...

2n(2n^2+3n+1)

=2n(n+1)(2n+1)

=2n(n+1)(n+2+n-1)

=2{n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)}

so...

2*3!=12の倍数あるね ^^

16282：剰余の集合...計算...基本 ^^

問題16282・・・http://21.xmbs.jp/shindou-6166-n3.php?guid=on&page=4&view=1 より 引用 Orz〜

5で割った余りがrであるような整数の集合をR(r)で表すとき
(1) a∈R(2),b∈R(4)ならば,a+b,abはそれぞれどの集合に属するか.
(2) 2c∈R(3)ならば,c,3c,4cはそれぞれどの集合に属するか.

解答

・わたしの...

(1)

a+b≡2+4≡1...a+b∈R(1)

ab≡2*4=8≡3...ab∈R(3)

(2)

2c≡3≡8

so...

c≡4...c∈R(4)

3c≡12≡2...3c∈R(2)

4c≡16≡1...4c∈(1)

^^

16281：19^100を5で割った余りは？...基本 ^^

問題16281・・・http://21.xmbs.jp/shindou-6166-n3.php?guid=on&page=2&view=1 より 引用 Orz〜

19^100を5で割ったときの余りを求めよ.

解答

・わたしの...

(20-1)^100を展開すれば...5で割れないのは...

100C100*(-1)^100=1

^^

or

フェルマーの定理より...

19^4≡1 (mod 5)

so...

(19^4)^25≡1^25=1

^^