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ｎを３以上の自然数として、正ｎ角形の頂点３個を頂点とする二等辺三角形の個数と
正(n＋1)角形の頂点３個を頂点とする二等辺三角形の個数の差が 1001 であるとき、n＝？ もちろん、正三角形も二等辺三角形として数えるものとします。 解答
上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38493402.html より Orz〜
正ｎ角形の頂点３個を頂点とする二等辺三角形の個数を T(n) とします。
正ｎ角形の頂点を１つ選んで、それを二等辺三角形の頂点とすれば、 ｎが奇数のとき a＝1 ，ｎが偶数のとき a＝2 として、二等辺三角形の個数は (n−a)/2 、 よって、全体では n(n−a)/2 です。 ただし、正三角形は３回数えることになりますので、 ｎが３の倍数であれば、正三角形が n/3 個あるので、2n/3 を減じることになります。 ｎが３の倍数のとき b＝1 ，ｎが３の倍数でないとき b＝0 として、 T(n)＝n(n−a)/2−2bn/3＝n(3n−3a−4b)/6 になります。 (n＋1)が奇数のとき c＝1 ，(n＋1)が偶数のとき c＝2 、 (n＋1)が３の倍数のとき d＝1 ，(n＋1)が３の倍数でないとき d＝0 として、 T(n＋1)＝(n＋1)(3n＋3−3c−4d)/6 になり、c＝3−a なので、 T(n＋1)＝(n＋1)｛3n＋3−3(3−a)−4d｝/6＝(n＋1)(3n−6＋3a−4d)/6 です。 T(n＋1)−T(n)＝(n＋1)(3n−6＋3a−4d)/6−n(3n−3a−4b)/6 ＝n(3n−6＋3a−4d)/6＋(3n−6＋3a−4d)/6−n(3n−3a−4b)/6 ＝n(−6＋6a＋4b−4d)/6＋(3n−6＋3a−4d)/6＝n(−3＋6a＋4b−4d)/6＋(−6＋3a−4d)/6 ＝｛(6a＋4b−4d−3)n＋(3a−4d−6)｝/6 です。 n≡0，1，2，3，4，5 (mod 6) に対して、それぞれ、 (a，b，d)＝(2，1，0)，(1，0，0)，(2，0，1)，(1，1，0)，(2，0，0)，(1，0，1) 、 T(n＋1)−T(n)＝13n/6，(3n−3)/6，(5n−4)/6，(7n−3)/6，9n/6，(−n−7)/6 です。 13n/6＝1001，(3n−3)/6＝1001，(5n−4)/6＝1001，(7n−3)/6＝1001，9n/6＝1001，(−n−7)/6＝−1001 より n＝462，n＝2003，n＝1202，n＝6009/7，n＝2002/3，n＝5999 、 n≡0，1，2，3，4，5 (mod 6) に適するのは、n＝462，1202，5999 です。 *似た感じでもっとプリミティヴに ^^;
n=6m...6m(6m-2)/2-2(6m/3)=18m^2-10m
n=6m+1...(6m+1)(6m)/2=18^2+3m n=6m+2...(6m+2)(6m/2)=18m^2+6m n=6m+3...(6m+3)(6m+2)/2-2(6m+3)/3=18m^2+11m+1 n=6m+4...(6m+4)(6m+2)/2=18m^2+18m+4 n=6m+5...(6m+5)(6m+4)/2=18m^2+27m+10 n=6m+6...(6m+6)(6m+4)/2-2(6m+6)/3=18m^2+26m+8 n=6m+2, 6m+3 のとき... 差=5m+1=1001...m=200...n=1202 n=6m+5,6m+6のとき... 差=m+2=1001...m=999...n=5999 n=6m...6m(6m-2)/2-2(6m/3)=18m^2-10m
n=6m+1...(6m+1)(6m)/2=18m^2+3m のとき... 3m+10m=13m=1001 m=11*7 so... n=6*7*11=462 が最初抜けてました...^^; 結局... n=462,1202,5999 |
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