アットランダム≒ブリコラージュ

16441：証明...1〜100が1個ずつあり,そこから任意の2個a,bを選んでa^2b^2+3,a^2+b^2+2の最大公約数だけを残していく.最後に残った数は平方数ではない...

問題16441・・・https://blog.goo.ne.jp/0424725533/c/e5b5c42c4b9d2f14213723fe06884efc/2 より 引用 Orz〜

黒板に１以上１００以下の整数が１つずつ書かれている。黒板から整数ａ、ｂを選んで消し、新たに

と

の最大公約数を書くという操作を繰り返し行う。黒板に書かれている整数が１つだけになったとき、その整数は平方数でないことを示せ。

(２０１８年日本数学オリンピック本選)

解答

・わたしの...

mod 3 で考える...

1,2,0 がそれぞれ33個と1が1個

1^2*2^2+3=7≡1

1^2+2^2+2=7≡1

1^2*1^2+3=4≡1

1^2+1^2+2=4≡1

1^2*0^2+3=3≡0

1^2+0^2+2=3≡0

2^2*2^2+3=19≡1

2^2+2^2+2=10≡1

0^2+0^2+3=3

0^2+0^2+2=2・・・最大公約数≡1

結局...1,0,1が残る...

1と1≡1

1と0≡0

どちらにしても...1と0とで0が残る...

(3m+1)^2*(3n)^2+3≡3 (mod 9)

(3m+1)^2+(3n)^2+2≡3 (mod 9)

so...3になるはずなので...平方数ではない...?

16440：風がある時と無風の時とでは船の往復時間はどちらがどう？...

画像：http://www.cruiseplanet.co.jp/usa/as_dsn_dr_150402.html より 引用 Orz〜

ディズニークルーズ♪

問題16440・・・https://blog.goo.ne.jp/0424725533/c/e5b5c42c4b9d2f14213723fe06884efc/1 より 引用 Orz〜

ある船が真っ直ぐに進み港Ａから港Ｂに到着し、すぐに同じルートで港Ｂから港Ａに戻ってくる。この往復の間、無風では船の速度は一定である。

つぎに、風が港Ａから港Ｂに向かって吹いているとき、船の速度は無風の場合よりも、ある速度だけ追い風では増加し、向かい風では同じ速度だけ減少する。

風がある場合、無風の時に比べ往復時間は、（１）増える、（２）減る、（３）同じ、のうちいずれであるか。なお速度は対地速度とする。

(平成３０年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学)

解答

・わたしの...

船の速さ：x, 風の速さ：y

1/(x+y)+1/(x-y)>=2√1/(x^2-y^2)>=2√(1/x^2))=1/x

等号はy=0の時...

風があるときは、増えますね ^^

16439：コインを100回投げて丁度50回表の出る確率は？

問題16439・・・https://sist8.com/50c より 引用 Orz〜

コインを100回投げる。
表がぴったり50回出る確率は？

1. 80%
2. 50%
3. 8%

解答

・わたしの...

あるなら、8%...

but...こんなに高い確率になるのかと計算してみると...

100C50=100891344545564193334812497256

so...

100C50/2^100

=12611418068195524166851562157/158456325028528675187087900672

=0.079589237387178761498127050242170461402931540424733321357...

なんと、8% じゃん!!

意外にあるものねぇ ^^;

二項分布のグラフを探してみた...^^

画像：https://bellcurve.jp/statistics/course/6979.html より 引用 Orz〜

16438：5人の年齢差がすべて異なるとき,最大の年齢差の最小値は？ ^^;

問題16438・・・https://blog.goo.ne.jp/0424725533/c/e5b5c42c4b9d2f14213723fe06884efc/1 より 引用 Orz〜

５人の人がいる。すべての２人組に対して年令差を計算したところ、それらはすべて異なる正の整数値であった。最も年上の人と最も年下の人の年令差としてありうる最小の値を求めよ。

(２０１８年ジュニア数学オリンピック本選)

解答

・わたしの...

0,1,3,7,12

so...

13 ね ^^

*と思ったら...意外な解答が存在しちゃうのね ^^;v

16437：直角三角錐の底面からの高さは？

問題16437・・・https://blog.goo.ne.jp/0424725533/c/e5b5c42c4b9d2f14213723fe06884efc/1 より 引用 Orz〜

Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃを頂点とする４面体の３つの線分ＯＡ、ＯＢ、ＯＣが互いに直交し、それぞれの長さがａ、ｂ、ｃであるとき、頂点Ｏから平面ＡＢＣへ下ろした垂線の長さを求めよ。

(平成３０年度東大大学院新領域創成科学研究科環境学研究系海洋技術環境学)

解答

・わたしの...

四角錐の体積=abc/3

△ABC^2=(ab/2)^2+(bc/2)^2+(ca/2)^2

so...

垂線の長さ=abc/(12*((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2))

*三平方の定理ならぬ四平方の定理は...

https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kosu/mathematics/kirinuki/kirinuki13.html 参照