アットランダム≒ブリコラージュ

16518：関数操作の繰り返し...パズル ^^

問題16518・・・http://d.hatena.ne.jp/turuhashi/searchdiary?of=10&word=%2A%5B%A1%D8%CC%E4%C2%EA%B2%F2%B7%E8%A1%D9%5D より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

f^2(x)=1/(1-1/(1-x))=(1-x)/(-x)

f^3(x)=1/(1+(1-x)/x))=x/1=x

so...

f^4(x)=f(x)

so...

f^(3m+1)=f(x)

f^1999(2000)=f^(1998+1)(2000)=1/(1-2000)=-1/1999

^^

16517：求長...半径1の球に内接する正四面体の1辺...

画像：http://kansai-photo.girly.jp/photo-techs/marble001-2 より 引用 Orz〜

問題16517・・・http://izu-mix.com/math/?p=590 より 引用 Orz〜

半径 1 の球に内接する正四面体の一辺の長さを求めよ。

［2005 北海道大・文理］

解答

・わたしの...

正四面体の1辺=a

正三角形*(1+h)/3=4(正三角形*h/3)

so...

1+h=4h

so...h=1/3

a^2*(1-(2/3)^2*(√3/2)^2)=(1+1/3)^2

a^2*(2/3)=(4/3)^2

a=(4/3)(√3/√2)

  =2√6/3

^^

四面体角(マラルディの角度)θの cosθ=-1/3 を知ってれば...

2(1+1/3)=8/3=a^2

so...

a=2√6/3

とすぐ求まりますけどね ^^

・鍵コメT様からの素敵な解法 Orz〜

次の方法もあります．

立方体の8頂点からどの2つも隣接しないように4つを選ぶと，正四面体の4頂点．
立方体の8頂点がすべて半径1の球面上にあるとき，
立方体の立体対角線は球の直径であり，長さ2であるから，
立方体の一辺は2/√3.
立方体の各面の対角線は2√(2/3)であり，これが正四面体の一辺である．

*なっるほどぉ〜!!

お気に入り ^^♪

16516：確率...正n角形の2点を選んでできる直線と残りn-2点から無作為に選んでできる直線が平行になる...基本 ^^

問題16516・・・http://izu-mix.com/math/?p=999 より 引用 Orz〜

n を 4 以上の整数とする。正 n 角形の2つの頂点を無作為に選び、それらを通る直線を l とする。さらに、残りの n – 2 個の頂点から 2 つの頂点を無作為に選び、それらを通る直線を m とする。直線 l と m が平行になる確率を求めよ。

［2015 一橋大］

解答

・わたしの...

n=2m のとき...

m本の平行線が選べるので...

(n/2-1)/(n-2)C2=1/(n-1)

n=2m+1 のとき...

m本の平行線が選べる...

so...

((n-1)/2-1)/(n-2)C2=(n-3)/{(n-2)(n-1)}

↑

間違ってたようです ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様から(6/18に頂戴してましたが見逃しておりました...〜m(_ _)m〜)のもの Orz〜

選べる平行線の数は，最初に選んだ2点によって異なる可能性があります．
(nが奇数のときは，可能な直線の向きはn種類で，どの向きも(n-1)/2本より，
最初にどの2点を選んでも，平行線として選べる直線は(n-3)/2本となりますが，
nが偶数のときは，可能な直線の向きは，
いずれかの辺と平行な場合，奇数個の頂点を間に挟む2頂点を結ぶ場合
に分かれ，それぞれn/2種類ですが，前者は向きごとにn/2本で合計(n^2)/4本，
後者は向きごとにn/2-1本で合計n(n-2)/4本となります．
(正方形をイメージするとよいと思います．
辺が平行な2組，各2本と，対角線が1本ずつです．)

n=4のとき，はじめの2頂点の選び方は4C2=6(通り)で，
条件を満たすのは4辺のときだから，確率は4/6=2/3ですが，
「1/(n-1)」だと1/3になってしまいます．

多分，「2点，続いてあと2点」と選ぶ選び方を分母にする方が考えやすいです．
分母は，nの偶奇によらず，(nC2)*((n-2)C2)=n(n-1)(n-2)(n-3)/4ですが，
分子は，nの偶奇で違いが生じます．
nが奇数のとき，分子はn*(n-1)/2*(n-3)/2だから，確率は1/(n-2).
nが偶数のとき，分子は(n/2)*(n/2*(n/2-1))+(n/2)*((n/2-1)*(n/2-2))
=(n/2)(n/2-1)*(n/2+n/2-2)=n((n-2)^2)/4だから，
確率は(n-2)/(n-1)(n-3)です．

*熟読玩味ぃ〜^^;☆

16515：ひっかけ問題...^^

問題16515・・・https://mrkun.m3.com/mrq/webseminarcampaign/0000021161/64233/mrkunmessage/viewDetail.htm より 引用 Orz〜

(a)ある日マーサが「10年を一区切りとすると、私は5つの区切りにまたがる期間を生きてきた」
彼女の年齢にもっとも近い年数をこたえるとき、最小値はいくつになるか？

(b)ある図書館で、すべての本のうちから1冊を無作為に選ぶと、90％の確率でイラストが入っている。すべての本のすべてのイラストから1つを無作為に選ぶと90％の確率でカラーである。もしその図書館の蔵書が10,000冊の場合、カラーイラストが入っている本は最小何冊か？

(c)偏りのないコインを投げて、表が3回以上出る確率が５０％を超えるには、最低何回投げればよいだろうか？

解答

・わたしの」...

(a)

30歳とわずか...12/31の最後ギリギリに産声をあげて、大晦日を超えてすぐの時言えますね ^^

(b)

10000*0.9=9000冊

9000冊のうち、例えば、8999冊は1個のモノクロ、残り1冊に89990-8999=80991個のカラーイラストがあれば題意を満たす...so...最低1冊でもあり得ますね ^^

(c)

表はコイン1枚でも50%を超えることはないので無理ね ^^

16514：7チームでサッカー試合...

問題16514・・・http://m-apes.com/blog/660/ より 引用 Orz〜

７チームが参加して、サッカーの大会を行いました。試合は総当たり戦（どのチームもたの６チームと１試合ずつ行う方式）で行い、各試合で勝ては２点、負ければ０点、引き分けの場合は１点が与えられました。この点数を勝ち点ということにします全試合が終わったときにAチーム以外の各チームの勝ち点の合計は下の表のようになりました。このとき、次の各問いに答えなさい。

チーム名	A	B	C	D	E	F	G
勝ち点の合計		11	5	5	1	11	2

（１）試合数は全部で何試合でしたか。

（２）Aチームの勝ち点の合計は何点ですか。

（３）Aチームは何勝何敗何引き分けですか。理由も述べなさい。

(麻布中学 平成10年)

解答

・わたしの...

(1)

7*6/2=21試合

(2)

何れにしても、1試合に2点増える...

2*21=42

so...

42-35=7点

(3)

B=5勝0敗1分け

F=5勝0敗1分け

G=0勝4敗2分け

E=0勝5敗1分け

C=1勝2敗3分け

D=1勝2敗3分け

so...

A=1勝0敗5分け

であれば、勝敗の数が等しくなりますね ^^

↑

(3)迷走...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(3) B,Fについて考えると，それぞれ「5勝1分け」だけが可能です．
BとFの対戦では引き分けであり，B,Fは，他のすべてのチームに勝ったので，
Aは(C,D,E,Gもですが)必ず2敗はしています．・・・そりゃそうでした ^^;...
つまり，「1勝0敗5分け」はあり得ません．

この条件を満たして勝ち点7を得るには，Aは「3勝2敗1分け」だけが可能です．