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(1)
sin(π/18)-sin(7π/18)＋sin(13π/18)=0 ですが、
sin(π/18)*sin(7π/18)*sin(13π/18)=？
(2)
(sin[π/18])^p+(sin[(25*π)/18])^p+(sin[(49*π)/18])^p
なる 冪和を □核心に触れる解法□で 求めて下さい!
(p∈{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,.....,69}
解答
頭動かざること山の如し...^^;
・鍵コメ T様からのもの Orz〜
(1) sin(π/18),sin(7π/18),sin(13π/18)はすべて正であり，
その和は0ではありません．(2)との関連で考えるに，3数は sin(π/18),sin(25π/18)=-sin(7π/18),sin(49π/18)=sin(13π/18) ではないでしょうか．それなら，和は0となります． ・・・赤字で訂正させていただきました Orz〜v
このとき， sin(θ±2π/3)=sinθcos(2π/3)±cosθsin(2π/3)=(-sinθ±√3cosθ)/4 だから， sinθsin(θ+2π/3)sin(θ-2π/3)=(sinθ)((sinθ)^2-3(cosθ)^2)/4 =(sinθ)((4sinθ)^2-3)/4=-(sin3θ)/4であり， θ=25π/18として， sin(π/18)sin(25π/18)sin(49π/18)=-sin(25π/6)/4=-1/8となります． 別の方法として，次のやり方も有力です．
θ=π/18,25π/18,49π/18は，sin3θ=1/2を満たすので， sinθ=tとして， 3t-4t^3=1/2. よって，sin(π/18),sin(25π/18),sin(49π/18)は， t^3-(3/4)t+1/8=0の3解であり， 3つの和は0，3つの積は-1/8，2つずつの積の和は-3/4です． *これ美し☆
(2) (sin(π/18))^3-(3/4)sin(π/18)+1/8=0から，
(sin(π/18))^(p+3)-(3/4)(sin(π/18))^(p+1)+1/8(sin(π/18))^p=0. 同様の式がsin(25π/18),sin(49π/18)についても成り立つので， (sin(π/18))^p+(sin(25π/18))^p+(sin(49π/18))^p=a[p]とすると， a[p+3]-(3/4)a[p+1]+(1/8)a[p]=0…[*]が成り立ちます． a[0]=3,a[1]=0,a[-1]=(2つずつの積の和)/(3つの積)=(-3/4)/(-1/8)=6 を元に，[*]を用いれば，いろいろなpに対してa[p]が順次求められます． *3次方程式からの漸化式として求まるのですねぇ♪
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コメント（1）
