アットランダム≒ブリコラージュ

すべての立方数は3個の立方数の和で表せる...(マーラーの恒等式)☆

すべての立方数の整数(正負にかかわらず)は、3個の立方数の整数の和で表せるのですね!!

いつもお世話になっています以下のサイトで知りました♪

完全無欠で荒唐無稽な夢

2018-06-01 ある恒等式の織りなす有理点列

http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64/comment より 引用 Orz〜

こういう恒等式ってのは、どうやって見つけるんでしょうかしらねぇ？

また、他の恒等式はないということは言えるんでしょうかしらん？

この恒等式って意外にも探しても載ってないのはなぜ？？？

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/8430_d9.htm より 引用 Orz〜

４立方数和定理？

画像：http://learn-math.info/japanese/historyDetail.htm?id=Davenport より 引用 Orz〜

「ダヴェンポートはほとんどすべての整数がたった４つの立方数の和となることを証明した．４個より多くの立方数は必要な数として，知られている最大の数は７３７３１７０２７９８５０で，これより大きい数は存在しないと予想されている．証明されてはいないが，有限個の例外を認めた場合の立方数の数は４だと考えられているのである．

　負の数も使えば，

　　２３＝８^3＋８^3＋（−１）^3＋（−１０）^3

と，２３をたった４個の立方数の和で表すことができる．１０００万までのすべての整数に対して，このことが確かめられている．

　このような実験に基づいて，多くの数学者はすべての整数は４つの立方数（正負どちらでもよい）の和で表すことができると予想している．デムヤネンは９ｋ±４の形でないすべての整数は４つの立方数の和であることを証明しているという．」

そうならば...

n=a^3+b^3+c^3+d^3

すべての立方数が3個の立方数の和で表されるので...

すべての数は、10個の立方数の和で表せますね ^^

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/8429_d8.htm より 引用 Orz〜

「１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，

「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」

ことを証明抜きで主張しました．これが，有名なウェアリングの問題です．

４^k（８ｎ＋７）の形の数は４個の２乗を必要とするのに対して，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

　２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3 」

*もっと少ない9個で行けるようですねぇ ^^;

16370：確率...n枚のコイン,1回目に出た表は取り去り、2回目にすべて面が出てコインがすべてなくなる確率は？...

問題16370・・・https://ameblo.jp/hitorinomeaki/theme9-10018152197.html より 引用 Orz〜

ｎを正の整数とする。

ｎ枚の硬貨を同時に投げて表の出たものを取り去り、１回後にもしも硬貨が残っていれば、残った硬貨をもう１度同時に投げて表の出たものを取り去る事にする。

この時、全部なくなる確率を求めよ。

解答

・わたしの...

これは気づけましたわ ^^

(nC0*/2^n+nC1/2^(n-1)+nC2/2^(n-2)+...+nCn/2^0)*(1/2)^n

=(nC0+2*nC1+2^2*nC2+...+2^n*nCn)/2^(2n)

(1+2)^nの展開...

so...

=3^n/2^(2n)

=(3/4)^n

ね ^^

・鍵コメT様からのなるほどの解法 Orz〜☆

各硬貨ごとに考えれば，「2回続けて裏」の場合以外は取り除かれるので，
3/4の確率で取り除かれます．
これを用いて(3/4)^nを得ることもできます．

16369：雪はいつから降り始めた？...

問題16369・・・https://sist8.com/snow  より 引用 Orz〜

ある日、午前中に雪が降り始めた。
雪はつねに一定のペースで降る。

除雪車が正午（AM12時）ぴったりに動き出し、1時間で2マイルの除雪を完了し、

さらに1時間で1マイルの除雪を完了した。

雪はいつ降り始めた？

解答

・わたしの...

よくわからないけど...

1時間除雪してたら、もう１時間で1マイル除雪しなければいけない分増えてたってことあるか？そうなら...

2時間に1マイル積もった...

so...3*2=6

6-2=4 AM時

ってこと？

*全然でしたわ...^^;

読んでもよくわかりましぇん...^^;; Orz〜

16368：交代継子立て...

問題16368・・・https://school2.5ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1036856456/ より 引用 Orz〜

１から２００１までの数を一つ飛ばしで消していき、 端の数まできたら

その数を消したあと、また反対方向にそれを繰り返すという 事をしていくと

、最後に残るのはどの数か？ 

たとえば、１から8までの数の場合、消す順番は、 
１→３→５→７→８→４→２　となり、6が残る。

解答

いくらでも問題って作れるものねぇ ^^;

under consideration...

16367：9階建てのビルに４つの階しか止まらないエレベーターは最低何台あれば乗り換えずにすべての階に行けますか？...パズル ^^

問題16367・・・https://school2.5ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1036856456/ より 引用 Orz〜

9階建てのあるﾋﾞﾙの各ｴﾚﾍﾞｰﾀｰは4つの階でしか止まらない。 
どの階からどの階へも乗り換えなしで行けるためには、 
最低何台のｴﾚﾍﾞｰﾀｰが必要か？ 

解答

・わたしの...

同じ階しか止まらないのでは問題にならなから、すべて異なるとして...

1階も含めるべきだから...

最悪で...

1234,5,6,7,8,9の6台でいいですね ^^

↑

間違ってましたわ ^^; Orz...

・鍵コメT様からのコメ Orz〜

解答の意味がわかりません．
例えば，5階から8階へも乗り換えなしでいける必要があります．

*再考...

各階からどの階まででも行けるには...

9*8/2=36

so...

36/4=9個あれば行けるはずあるね ?

例えば...

1234

1567

1289

2567

2389

3567

4567

4789

5689

で行けますよね ^^

↑

これよりも少なくても可能なものがあるのでした ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

36/4という計算の意味がよくわかりません．
例えば，1〜8階だったとしたら，
「8C2=28,28/4=7で，7台が必要」ということでしょうか．
実際は，1〜8階の場合，
1234,5678,1256,1278,3456,3478
の6台で十分です．

9階までの場合に8台以下で可能かどうかは，
プログラムの力を借りないと見つけられませんでしたが，
A{1234},B{1235},C{1267},D{1368},E{4578},F{4569},G{1379},H{1289}
という例をPCが示してくれました．

・鍵コメT様よりのもの Orz〜

多少回り道をしている可能性はありますが，以下のように解きました．

各階，他の8つの階に直通可能となるには最低でも3台のエレベーターが止まる．
このとき，のべ27以上の階に止まるので，エレベーターは少なくとも7台必要．

7台のとき，のべ28の階に止まるから，
1つの階のみ4台が止まり，他はすべて3台が止まる．
4台止まるのは1階であるとして一般性を失わない．
1階に止まる4台中3台が2階に止まるとすると，2階には3台しか止まらないから
2階から直通できるのは，1階以外には6つの階だけとなり不適．
同様に，1階に止まる4台は，1階以外には3台が同じ階に止まることはない．

1回以外にのべ12個の階に止まるから，4つの階には2台，4つの階には1台止まる．
2,3,4,5階には2台が止まるものとしてよい．
このとき，2階に止まる3台のエレベーターで，2階から直通可能な階は，
各エレベーターで3つまでであり，1階に2台で直通可能だから，
2階から，1階以外に2台のエレベーターで直通可能にすることはできない．
3,4,5階も同様．(*)

2,3,4,5階には，1階に止まるエレベーターのうちのべ8台が止まるから，
[1]4台のうちの1台が2,3,4,5階の内の3つに止まる
[2]4台とも2,3,4,5階の内の2つに止まる
のいずれかが成立．

[1]のとき，{1234}となるエレベーターがあるとしてよく，このとき(*)より，
1階に止まるエレベーターは，残り3台が{12??}{13??}{14??}となる．
{1256}{1357}{1489}としてよい．
4階から直通可能なのは1,2,3,8,9階で，4階に止まるあと1台は{4567}に限る．
5階から直通可能なのは1,2,3,6,7階で，5階に止まるあと1台は{4589}に限る．
(*)より，{4567},{4589}は同時に運行できず，不適．

[2]のとき，1,2階に止まる2台を{123?}{124?}としてよく，
1階に止まるあと2台は{135?}{145?}に限る．
{1236}{1247}{1358}{1459}としてよい．
2階から直通可能なのは1,3,4,6,7階で，2階に止まるあと1台は{2589}に限る．
5階から直通可能なのは1,3,4,8,9階で，5階に止まるあと1台は{2567}に限る．
(*)より，{2589},{2567}は同時に運行できず，不適．

以上より，エレベーター7台では，条件を満たすことはできない．

すでに示した実例から，エレベーター8台では可能だから，
最低必要なエレベーター数は8台．

*アップするのが遅くなりました...^^;...Orz...